- LG a
- LG b
Cho \[n\] điểm \[A_1, A_2, ,A_n\] và \[n\] số \[k_1, k_2,,k_n\]với \[{k_1} + {k_2} + ... + {k_n} = k [k \ne 0].\]
LG a
Chứng minh rằng có một và chỉ một điểm \[G\] sao cho
\[{k_1}\overrightarrow {G{A_1}} + {k_2}\overrightarrow {G{A_2}} + ... + {k_n}\overrightarrow {G{A_n}} = \overrightarrow 0 \].
Lời giải chi tiết:
Lấy một điểm \[O\] bất kì thì đẳng thức
\[{k_1}\overrightarrow {G{A_1}} + {k_2}\overrightarrow {G{A_2}} + ... + {k_n}\overrightarrow {G{A_n}} = \overrightarrow 0\] [1]
tương đương với
\[{k_1}\left[ {\overrightarrow {O{A_1}} - \overrightarrow {OG} } \right] + {k_2}\left[ {\overrightarrow {O{A_2}} - \overrightarrow {OG} } \right] \] \[+ \ldots + {k_n}\left[ {\overrightarrow {O{A_n}} - \overrightarrow {OG} } \right] = \overrightarrow 0 \]
Hay \[\overrightarrow {OG} = \dfrac{1}{k}[\overrightarrow {O{A_1}} + \overrightarrow {O{A_2}} + ... + \overrightarrow {O{A_n}} ].\]
Điều đó chứng tỏ rằng có điểm \[G\] thỏa mãn [1].
Giả sử điểm G củng thỏa mãn \[{k_1}\overrightarrow {G'{A_1}} + {k_2}\overrightarrow {G'{A_2}} + ... + {k_n}\overrightarrow {G'{A_n}} = \overrightarrow 0 \] [2]
Bằng cách trừ theo vế [1] cho [2] ta được \[k.\overrightarrow {GG'} = \overrightarrow 0 \], suy ra \[\overrightarrow {GG'} = \overrightarrow 0 \] hay \[G\] trùng với \[G\]. [Điểm \[G\] được gọi là tâm tỉ cự của hệ điểm \[\left\{ {{A_1},{A_2}, \ldots {A_n}} \right\}\]gắn với các hệ số \[{k_1},{k_2} \ldots {k_n}\]].
LG b
Tìm quỹ tích những điểm \[M\] sao cho: \[{k_1}MA_1^2 + {k_2}MA_2^2 + ... + {k_n}MA_n^2 = m\], trong đó \[m\] là một số không đổi.
Lời giải chi tiết:
Với mọi điểm \[M\], ta có
\[\begin{array}{l}{k_1}MA_1^2 + {k_2}MA_2^2 + ... + {k_n}MA_n^2 = m\\ \Leftrightarrow {k_1}{\overrightarrow {M{A_1}} ^2} + {k_2}{\overrightarrow {M{A_2}} ^2} + ... + {k_n}{\overrightarrow {M{A_n}} ^2} = m\\ \Leftrightarrow {k_1}{\left[ {\overrightarrow {G{A_1}} - \overrightarrow {GM} } \right]^2} + {k_2}{\left[ {\overrightarrow {G{A_2}} - \overrightarrow {GM} } \right]^2} + ... + {k_n}{\left[ {\overrightarrow {G{A_n}} - \overrightarrow {GM} } \right]^2} = m\\ \Leftrightarrow {k_1}GA_1^2 + {k_2}GA_2^2 + ... + {k_n}GA_n^2 + kG{M^2} - 2\overrightarrow {GM} \left[ {{k_1}\overrightarrow {G{A_1}} + {k_2}\overrightarrow {G{A_2}} + ... + {k_n}\overrightarrow {G{A_n}} } \right] = m.\end{array}\]
Ta đặt
\[{k_1}GA_1^2 + {k_2}GA_2^2 + ... + {k_n}GA_n^2 = s\] thì đẳng thức trên tương đương với \[s + kG{M^2} = m\] hay \[G{M^2} = \dfrac{{m - s}}{k}\]. Từ đó suy ra
Nếu \[\dfrac{{m - s}}{k} > 0\] thì quỹ tích các điểm \[M\] là đường tròn tâm \[G\], bán kính \[r = \sqrt {\dfrac{{m - s}}{k}} \].
Nếu \[m - s = 0\] thì quỹ tích các điểm \[M\] là một điểm \[G\].
Nếu \[\dfrac{{m - s}}{k} > 0\]thì quỹ tích các điểm M là tập rỗng.
Chú ý: Khi \[{k_1} + {k_2} + ... + {k_n} = k = 0\] thì hệ điểm \[\left\{ {{A_1},{A_2}, \ldots {A_n}} \right\}\]không có tâm tỉ cự, song vec tơ \[\overrightarrow u = {k_1}\overrightarrow {O{A_1}} + {k_2}\overrightarrow {O{A_2}} + ... + {k_n}\overrightarrow {O{A_n}} \] không phụ thuộc vào việc chọn điểm \[O\]. Thực vậy, với điểm \[O\] khác điểm \[O\], ta có
\[\begin{array}{l} {k_1}\overrightarrow {O'{A_1}} + {k_2}\overrightarrow {O'{A_2}} + .. + {k_n}\overrightarrow {O'{A_n}} \\ = [{k_1} + {k_2} + ... + {k_n}]\overrightarrow {O'O} + {k_1}\overrightarrow {O{A_1}} + {k_2}\overrightarrow {O{A_2}} + ... + {k_n}\overrightarrow {O{A_n}} = \overrightarrow u \end{array}\]
Bây giờ chọn một điểm \[O\] nào đó, ta có
\[\begin{array}{l}{k_1}MA_1^2 + {k_2}MA_2^2 + ... + {k_n}MA_n^2 = m\\ \Leftrightarrow {k_1}{\overrightarrow {M{A_1}} ^2} + {k_2}{\overrightarrow {M{A_2}} ^2} + ... + {k_n}{\overrightarrow {MA_n^{}} ^2} = m\\ \Leftrightarrow {k_1}{\left[ {\overrightarrow {O{A_1}} - \overrightarrow {OM} } \right]^2} + {k_2}{\left[ {\overrightarrow {O{A_2}} - \overrightarrow {OM} } \right]^2} + ... + {k_n}{\left[ {\overrightarrow {O{A_n}} - \overrightarrow {OM} } \right]^2} = m\\ \Leftrightarrow {k_1}OA_1^2 + {k_2}OA_2^2 + ... + {k_n}OA_n^2 - 2\overrightarrow {OM} .\overrightarrow u = m.\end{array}\]
Đặt \[{k_1}OA_1^2 + {k_2}OA_2^2 + ... + {k_n}OA_n^2 = s\] thì đẳng thức trên trở thành :\[2\overrightarrow u .\overrightarrow {OM} = s - m\].
Bởi vậy:
Nếu \[\overrightarrow u = \overrightarrow 0 \] và \[s=m\] thì quỹ tích các điểm \[M\] là toàn bộ mặt phẳng.
Nếu \[\overrightarrow u = \overrightarrow 0 \] và \[s \ne m\] thì quỹ tich các điểm \[M\] là tập rỗng.
Nếu \[\overrightarrow u \ne \overrightarrow 0 \] thì quỹ tích các điểm \[M\] là một đường thẳng vuông góc với vec tơ \[\overrightarrow u \].