- LG a
- LG b
- LG c
LG a
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \[y = {{x + 1} \over {x - 2}}\]
Lời giải chi tiết:
TXĐ: \[D =\mathbb R\backslash \left\{ 2 \right\}\]
Tiệm cận đứng \[x = 2\] vì:
\[\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{x + 1}}{{x - 2}} = - \infty \\
\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{x + 1}}{{x - 2}} = + \infty
\end{array}\]
Tiệm cận ngang \[y = 1\] vì:
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{x + 1}}{{x - 2}} = 1\]
\[y' = {{ - 3} \over {{{\left[ {x - 2} \right]}^2}}} < 0\] với mọi \[x \ne 2\] nên hàm số nghịch biến trên các khoảng\[\left[ { - \infty ;2} \right]\] và \[\left[ {2; + \infty } \right]\]
Điểm đặc biệt: \[A\left[ {0; - {1 \over 2}} \right],\,B\left[ { - 1;0} \right]\]
Đồ thị nhận điểm \[I[2;1]\] làm tâm đối xứng.
LG b
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho tại giao điểm \[A\] của đồ thị với trục tung.
Lời giải chi tiết:
Giao điểm của đồ thị với trục tung \[A\left[ {0; - {1 \over 2}} \right]\]
\[y'\left[ 0 \right] = - {3 \over 4}\]
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại \[A\] là:
\[y + {1 \over 2} = - {3 \over 4}\left[ {x - 0} \right] \] \[\Leftrightarrow y = - {3 \over 4}x - {1 \over 2}\]
LG c
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị song song với tiếp tuyến tại điểm \[A\].
Lời giải chi tiết:
Giả sử \[M\] là tiếp điểm của tiếp tuyến song song với tiếp tuyến tại \[A\] ta có:
\[y'\left[ {{x_M}} \right] = - {3 \over 4} \] \[\Leftrightarrow {{ - 3} \over {{{\left[ {{x_M} - 2} \right]}^2}}} = - {3 \over 4} \Leftrightarrow {\left[ {{x_M} - 2} \right]^2} = 4\]
\[ \Leftrightarrow \left[ \matrix{
{x_M} - 2 = 2 \hfill \cr
{x_M} - 2 = - 2 \hfill \cr} \right. \] \[\Leftrightarrow \left[ \matrix{
{x_M} = 4 \hfill \cr
{x_M} = 0\,\,[\text{ loại vì }{x_A} = 0] \hfill \cr} \right.\]
\[y\left[ 4 \right] = {5 \over 2}\].Vậy \[M\left[ {4;{5 \over 2}} \right]\]
Phương trình tiếp tuyến tại điểm \[M\] là: \[y - {5 \over 2} = - {3 \over 4}\left[ {x - 4} \right]\] \[ \Leftrightarrow y = - {3 \over 4}x + {{11} \over 2}\]