- LG a
- LG b
- LG c
- LG d
Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
LG a
\[f\left[ x \right] = {x^2}\cos 2x;\]
Lời giải chi tiết:
Đặt
\[\left\{ \matrix{
u = {x^2} \hfill \cr
dv = \cos 2xdx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{
du = 2xdx \hfill \cr
v = {1 \over 2}\sin 2x \hfill \cr} \right.\]
Do đó \[\int {{x^2}\cos 2xdx}\] \[ = {1 \over 2}{x^2}\sin 2x - \int {x\sin 2xdx\,\,\,\left[ 1 \right]} \]
Tính \[\int {x\sin 2xdx} \]
Đặt
\[\left\{ \matrix{
u = x \hfill \cr
dv = \sin 2xdx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{
du = dx \hfill \cr
v = - {1 \over 2}\cos 2x \hfill \cr} \right.\]
\[\Rightarrow \int {x\sin 2xdx }\] \[= - {1 \over 2}x\cos 2x + {1 \over 2}\int {\cos 2xdx }\] \[= - \dfrac{1}{2}x\cos 2x + \dfrac{1}{2}.\dfrac{{ - \cos 2x}}{2} + {C_1}\]\[ = - {1 \over 2}x\cos 2x - {1 \over 4}\sin 2x + C_1 \]
Thay vào [1] ta được \[\int {{x^2}\cos 2xdx }\]
\[= \dfrac{1}{2}{x^2}\sin 2x \] \[- \left[ { - \dfrac{1}{2}x\cos 2x - \dfrac{1}{4}\sin 2x + {C_1}} \right]\]
\[= {1 \over 2}{x^2}\sin 2x + {1 \over 2}x\cos 2x + {1 \over 4}\sin 2x + C \]
LG b
\[f\left[ x \right] = \sqrt x \ln x;\]
Lời giải chi tiết:
Đặt
\[\left\{ \matrix{
u = \ln x \hfill \cr
dv = \sqrt x dx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{
du = {{dx} \over x} \hfill \cr
v = {2 \over 3}{x^{{3 \over 2}}} \hfill \cr} \right.\]
\[ \Rightarrow \int {\sqrt x \ln xdx} \]\[ = \dfrac{2}{3}{x^{\dfrac{3}{2}}}\ln x - \int {\dfrac{2}{3}{x^{\dfrac{3}{2}}}.\dfrac{1}{x}dx} \] \[ = \dfrac{2}{3}{x^{\dfrac{3}{2}}}\ln x - \dfrac{2}{3}\int {{x^{\dfrac{1}{2}}}dx} \] \[ = \dfrac{2}{3}{x^{\dfrac{3}{2}}}\ln x - \dfrac{2}{3}.\dfrac{{{x^{\dfrac{1}{2} + 1}}}}{{\dfrac{1}{2} + 1}} + C\] \[ = \dfrac{2}{3}{x^{\dfrac{3}{2}}}\ln x - \dfrac{2}{3}.\dfrac{{{x^{\dfrac{3}{2}}}}}{{\dfrac{3}{2}}} + C\] \[ = \dfrac{2}{3}{x^{\dfrac{3}{2}}}\ln x - \dfrac{2}{3}.\dfrac{2}{3}{x^{\dfrac{3}{2}}} + C\] \[ = \dfrac{2}{3}x\sqrt x \ln x - \dfrac{4}{9}x\sqrt x + C\]
LG c
\[f\left[ x \right] = {\sin ^4}x\cos x;\]
Lời giải chi tiết:
Đặt \[u = {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} \Rightarrow du = \cos xdx\]
\[\int {{{\sin }^4}x\cos xdx} = \int {{u^4}du} \] \[ = \dfrac{{{u^5}}}{5} + C = \dfrac{{{{\sin }^5}x}}{5} + C\]
LG d
\[f\left[ x \right] = x\cos \left[ {{x^2}} \right];\]
Lời giải chi tiết:
Đặt \[u = {x^2} \Rightarrow du = 2xdx \Rightarrow xdx = {1 \over 2}du\]
\[ \Rightarrow \int {x\cos \left[ {{x^2}} \right]dx}\] \[ = {1 \over 2}\int {\cos udu}\] \[ = {1 \over 2}\sin u + C \] \[= {1 \over 2}\sin [x^2] + C. \]