- LG a
- LG b
- LG c
LG a
Cho một số \[h > 0.\] Bằng phương pháp quy nạp chứng minh rằng
\[{\left[ {1 + h} \right]^n} \ge 1 + nh + {{n\left[ {n - 1} \right]} \over 2}{h^2}\]
Lời giải chi tiết:
\[{\left[ {1 + h} \right]^n} \ge 1 + nh + {{n\left[ {n - 1} \right]} \over 2}{h^2}\] [1]
+] Với n = 1, [1] đúng
+] Giả sử [1] đúng với n = k, tức là\[{\left[ {1 + h} \right]^k} \ge 1 + kh + {{k\left[ {k - 1} \right]} \over 2}{h^2}\]
Ta chứng minh [1] đúng với n = k + 1
LG b
Chứng minh rằng nếu \[q > 1\] thì
\[\lim {{{q^n}} \over n} = + \infty \]
Lời giải chi tiết:
Vì \[q > 1\] nên tồn tại số dương h sao cho \[h = q - 1 > 0.\] Từ bất đẳng thức trong câu a] suy ra
\[{q^n} = {\left[ {1 + h} \right]^n} \ge {{n\left[ {n - 1} \right]} \over 2}{h^2}\]
Do đó
\[{{{q^n}} \over n} \ge {{{h^2}} \over 2}\left[ {n - 1} \right]\] với mọi n
Vì \[\lim {{{h^2}} \over 2}\left[ {n - 1} \right] = + \infty \] nên từ đó suy ra
\[\lim {{{q^n}} \over n} = + \infty \]
LG c
Cho \[q > 1.\] Tìm \[\lim {n \over {{q^n}}}\]
Hướng dẫn: b] Đặt \[q = 1 + h\] và áp dụng a]
Lời giải chi tiết:
Từ b] suy ra \[\lim {n \over {{q^n}}} = 0\]