Đề bài
Chứng minh \[\widehat {OAB} = \widehat {OBA} = \widehat {OCD} = \widehat {ODC} = \widehat {ODE} = \widehat {ODE} = \widehat {OEA} = \widehat {OAE}\]
Từ đó chứng minh nếu một ngũ giác nội tiếp và có các cạnh bằng nhau thì nó có phải là ngũ giác đều.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Chứng minh ngũ giác ABCDE có tất cả các góc bằng nhau.
Lời giải chi tiết
Ta có: \[AB = BC = CD = DE = EA \]
\[\Rightarrow cung\,AB = cung\,BC = cung\,CD = cung\,DE = cung\,EA\] [các dây bằng nhau căng các cung bằng nhau].
\[ \Rightarrow \widehat {AOB} = \widehat {BOC} = \widehat {COD} = \widehat {DOE} = \widehat {EOA}\] [số đo góc ở tâm bằng số đo cung bị chắn].
Xét \[\Delta OAB\] có \[OA = OB = R \Rightarrow \Delta OAB\] cân tại O.
\[ \Rightarrow \widehat {OAB} = \widehat {OBA} = \dfrac{{{{180}^0} - \widehat {OAB}}}{2}\].
Chứng minh tương tự ta có
\[\begin{array}{l}\widehat {OBC} = \widehat {OCB} = \dfrac{{{{180}^0} - \widehat {BOC}}}{2}\\\widehat {OCD} = \widehat {ODC} = \dfrac{{{{180}^0} - \widehat {COD}}}{2}\\\widehat {ODE} = \widehat {ODE} = \dfrac{{{{180}^0} - \widehat {DOE}}}{2}\\\widehat {OEA} = \widehat {OAE} = \dfrac{{{{180}^0} - \widehat {EOA}}}{2}\end{array}\]
Mà \[\widehat {AOB} = \widehat {BOC} = \widehat {COD} = \widehat {DOE} = \widehat {EOA}\]
\[\begin{array}{l} \Rightarrow \widehat {OAB} = \widehat {OBA} = \widehat {OCD} = \widehat {ODC} = \widehat {ODE} = \widehat {ODE} = \widehat {OEA} = \widehat {OAE}\\ \Rightarrow \widehat {EAB} = \widehat {ABC} = \widehat {BCD} = \widehat {CDE} = \widehat {DEA}\end{array}\]
Vậy ngũ giác ABCDE là ngũ giác đều [Ngũ giác có tất cả các cạnh bằng nhau và các góc bằng nhau].