Đề bài
Tam giác \[ABC\] có trung tuyến \[AA_1\], đường cao \[BB_1\]và phân giác \[CC_1\]đồng quy. Tìm hệ thức liên hệ giữa ba cạnh của tam giác.
Lời giải chi tiết
[h.136].
Ta đặt : \[\overrightarrow {CA} = \overrightarrow u , \overrightarrow {CB} = \overrightarrow v \].
Khi đó, \[|\overrightarrow u | = CA , |\overrightarrow v | = CB = a\]. Giả sử trung tuyến \[AA_1\]cắt phân giác \[CC_1\]tại \[I\], khi đó \[ \dfrac{{IA}}{{I{A_1}}} = \dfrac{{CA}}{{C{A_1}}} = \dfrac{{2b}}{a}\] hay \[a.IA = 2b.I{A_1}\]. Vì \[I\] nằm giữa \[A\] và \[A_1\]nên \[a.\overrightarrow {IA} = - 2b.\overrightarrow {I{A_1}} \]
\[ \Leftrightarrow a\left[ {\overrightarrow {CA} - \overrightarrow {CI} } \right] = - 2\left[ {\overrightarrow {C{A_1}} - \overrightarrow {CI} } \right]\]
Suy ra \[\overrightarrow {CI} = \dfrac{{a.\overrightarrow {CA} + 2b\overrightarrow {C{A_1}} }}{{a + 2b}} = \dfrac{{a\overrightarrow u + b\overrightarrow v }}{{a + 2b}}\].
Do đó ta có \[\overrightarrow {BI} = \overrightarrow {CI} - \overrightarrow {CB}\]
\[ = \dfrac{{a\overrightarrow u + b\overrightarrow v }}{{a + 2b}} - \overrightarrow v\]
\[ = \dfrac{{a\overrightarrow u - [a + b]\overrightarrow v }}{{a + 2b}}\].
Vì đường cao \[BB_1\]đi qua \[I\] nên \[\overrightarrow {BI} .\overrightarrow {CA} = 0\] hay \[\left[ {a\overrightarrow u - [a + b]\overrightarrow v } \right].\overrightarrow u = 0\].
Suy ra
\[\begin{array}{l}a{\overrightarrow u ^2} - [a + b]\overrightarrow u .\overrightarrow v = 0 \\ \Rightarrow a.{b^2} - [a + b]ab\cos C = 0\\ \Rightarrow a{b^2} = \dfrac{1}{2}[a + b][{a^2} + {b^2} - {c^2}] = 0\\ \Rightarrow 2a{b^2} - a\left[ {{a^2} + {b^2} - {c^2}} \right] - b\left[ {{a^2} + {b^2} - {c^2}} \right] = 0\\ \Rightarrow - a\left[ {{a^2} - {b^2} - {c^2}} \right] - b\left[ {{a^2} + {b^2} - {c^2}} \right] = 0\end{array}\]
Vậy ta có lien hệ : \[a[ - {a^2} + {b^2} + {c^2}] = b[{a^2} + {b^2} - {c^2}]\].