Đề bài
Cho hình bình hành \[ABCD.\] Từ \[A\] kẻ \[AM\] vuông góc với \[BC,\] \[AN\] vuông góc với \[CD\] [\[M\] thuộc \[BC\] và \[N\] thuộc \[CD\]]. Chứng minh rằng tam giác \[MAN\] đồng dạng với tam giác \[ABC.\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng:
-Nếu hai cạnh tam giác này tỉ lệ với hai cạnh của tam giác kia và góc tạo bởi các cặp cạnh đó bằng nhau, thì hai tam giác đồng dạng.
-Nếu hai góc của tam giác này lần lượt bằng hai góc của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng.
Lời giải chi tiết
* Trường hợp\[\widehat B\]nhọn:
Xét \[ AMB\] và \[ AND\] có:
\[\widehat {AMB} = \widehat {AND} = 90^\circ \]
\[\widehat B = \widehat D\] [vì \[ABCD\] là hình bình hành]
\[ \Rightarrow AMB\] đồng dạng \[ AND\] [g.g]
\[ \displaystyle \Rightarrow {{AM} \over {AB}} = {{AN} \over {AD}} \]
Mà \[AD = BC\][vì \[ABCD\] là hình bình hành]
\[ \displaystyle \Rightarrow{{AM} \over {AB}} = {{AN} \over {BC}}\]
Lại có: \[AB // CD\] [gt]
\[AN CD\] [gt]
\[\RightarrowAN AB\] hay\[\widehat {NAB} = {90^o}\].
\[\Rightarrow \widehat {NAM} + \widehat {MAB} = 90^\circ \] [1]
Trong tam giác vuông \[AMB\] có \[\widehat {AMB} = 90^\circ \]
\[\Rightarrow \widehat {MAB} + \widehat B = 90^\circ \] [2]
Từ [1] và [2] suy ra: \[\widehat {NAM} = \widehat B\]
Xét \[ ABC\] và \[ MAN\] có:
\[ \displaystyle{{AM} \over {AB}} = {{AN} \over {BC}}\] [chứng minh trên]
\[\widehat {NAM} = \widehat B\] [chứng minh trên]
\[\Rightarrow ABC\] đồng dạng \[ MAN \] [c.g.c]
* Trường hợp\[\widehat B\] tù:
\[ABCD\] là hình bình hành nên \[AB//CD;\;AD//BC\].
Vì \[AB//CD\] nên\[\widehat {ABM} =\widehat C\] [cặp góc đồng vị].
Vì \[AD//BC\] nên \[\widehat {ADN}=\widehat C\] [cặp góc đồng vị].
Xét \[ AMB\] và \[ AND\] có:
\[\widehat {AMB} = \widehat {AND} = 90^\circ \]
\[\widehat {ABM} = \widehat {ADN}\] [vì cùng bằng \[\widehat C\]]
\[\Rightarrow AMB\] đồng dạng \[ AND\] [g.g]
\[ \displaystyle \Rightarrow{{AM} \over {AB}} = {{AN} \over {AD}}\]
Mà \[AD = BC\][vì \[ABCD\] là hình bình hành]
\[ \displaystyle \Rightarrow{{AM} \over {AB}} = {{AN} \over {BC}}\]
Vì \[AB // CD\] nên \[\widehat {ABC} + \widehat C = 180^\circ \] [cặp góc trong cùng phía] [3]
Tứ giác \[AMCN\] có \[\widehat {AMC} = \widehat {AND} = 90^\circ \]
\[\Rightarrow \widehat {MAN} + \widehat C = 180^\circ \] [4]
Từ [3] và [4] suy ra \[\widehat {MAN} = \widehat {ABC}\]
Xét \[ MAN\] và \[ ABC\] có:
\[ \displaystyle{{AM} \over {AB}} = {{AN} \over {BC}}\] [chứng minh trên]
\[\widehat {MAN} = \widehat {ABC}\] [chứng minh trên]
\[\Rightarrow MAN\] đồng dạng \[ ABC\] [c.g.c]