Đề bài - bài 84 trang 120 sbt toán 9 tập 1
|
\(\eqalign{& {{DE} \over {DB}} = {a \over {a\sqrt 2 }} = {{\sqrt 2 } \over 2}; \cr& {{DB} \over {DC}} = {{a\sqrt 2 } \over {2a}} = {{\sqrt 2 } \over 2} \cr} \) Đề bài Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), \(AB = a, AC = 3a\). Trên cạnh \(AC\) lấy các điểm \(D, E\) sao cho \(AD = DE = EC.\) a) Chứng minh: \(\displaystyle {{DE} \over {DB}} = {{DB} \over {DC}}\) b) Chứng minh \(BDE\) đồng dạng \(CDB\) c) Tính tổng \(\widehat {AEB} + \widehat {BCD}\) bằng hai cách Cách 1:Sử dụng kết quả ở câu b); Cách 2:Dùng máy tính bỏ túi hoặc bảng lượng giác. Phương pháp giải - Xem chi tiết - Áp dụng định lí Py-ta-go trong tam giác vuông. - Các trường hợp bằng nhau của tam giác. - Sử dụng: Trong tam giác ABC vuông tại A thì \(tan\widehat {ACB} = \displaystyle {{AB} \over {AC}}\) Lời giải chi tiết a) Ta có:\(AD = DE = EC = \dfrac{{AC}}{3} = a\) Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông \(ABD\), ta có: \(B{D^2} = A{D^2} + A{B^2} = {a^2} + {a^2} = 2{a^2}\) Suy ra: \(BD = a\sqrt 2 \) Ta có: \(\eqalign{ Vậy \(\displaystyle {{DE} \over {DB}} = {{DB} \over {DC}}\) b) Xét \(BDE\) và \(CDB\), ta có: \(\displaystyle{{DE} \over {DB}} = {{DB} \over {DC}}\) (1) \(\widehat {BDE} = \widehat {BDC}\) (2) Từ (1) và (2) suy ra \(BDE\) đồng dạng \(CDB\) (c-g-c). c) *Cách 1: Ta có: \(BDE\) đồng dạng \(CDB\) \(\Rightarrow \widehat {BED} = \widehat {CBD}\) Mặt khác: \(\widehat {AEB} + \widehat {BCD} = \widehat {BED} + \widehat {BCD}\)\( = \widehat {CBD} + \widehat {BCD}\) (3) Trong \(BCD\), ta có: \(\widehat {ADB} = \widehat {CBD} + \widehat {BCD}\)(tính chất góc ngoài) (4) Lại có: \(\widehat {ADB} = 45^\circ \)(vì ABD vuông cân tại A) (5) Từ (3), (4) và (5) suy ra: \(\widehat {AEB} + \widehat {BCD} = 45^\circ \) * Cách 2: Ta có: \(AE=AD+DE=2a\) Trong tam giác \( ABE\), ta có: \(tan\widehat {AEB} = \displaystyle {{AB} \over {AE}} = {a \over {2a}} = {1 \over 2}\) Suy ra: \(\widehat {AEB} = 26^\circ 34'\) Trong tam giác vuông \(ABC\), ta có: \(tan\widehat {ACB} = \displaystyle {{AB} \over {AC}} = {a \over {3a}} = {1 \over 3}\) Suy ra: \(\widehat {ACB} = 18^\circ 26'\) Suy ra\(\widehat {AEB} + \widehat {ACB}=26^\circ 34'+18^\circ 26'=45^0\) Vậy \(\widehat {AEB} + \widehat {ACB} = \widehat {AEB} + \widehat {BCD} = 45^\circ \)
|
