Đề bài
Cho hình vuông \[ABCD\]. Gọi \[I\] là một điểm nằm giữa \[A\] và \[B\]. Tia \[DI\] và tia \[CB\] cắt nhau ở \[K\]. Kẻ đường thẳng qua \[D\], vuông góc với \[DI\]. Đường thẳng này cắt đường thẳng \[BC\] tại \[L\]. Chứng minh rằng:
a] Tam giác \[DIL\] là một tam giác cân;
b] Tổng\[\dfrac{1}{DI^{2}}+\dfrac{1}{DK^{2}}\]không đổi khi \[I\] thay đổi trên cạnh \[AB\].
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a] Chứng minh hai tam giác bằng nhau\[[\Delta{ADI}\] và \[\Delta{CDL}]\] từ đó suy ra hai cạnh tương ứng bằng nhau.
b] Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông: \[\dfrac{1}{h^2}=\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\] để đưa tổng đã cho về tổng của các số không đổi.
Lời giải chi tiết
a]Xét \[\Delta ADI\]và\[\Delta CDL\]có:
\[\widehat{A}=\widehat{C}= 90^{\circ}\]
\[AD=CD\][hai cạnh hình vuông]
\[\widehat{D_{1}}=\widehat{D_{2}}\] [cùng phụ với\[\widehat{CDI}]\]
Do đó\[\Delta ADI=\Delta CDL\][g.c.g]
Suy ra\[DI=DL\].
Vậy \[\Delta DIL\]cân [đpcm].
b]Xét \[\Delta{DLK}\] vuông tại \[D\], đường cao \[DC\].
Áp dụng hệ thức\[\dfrac{1}{h^{2}}=\dfrac{1}{b^{2}}+\dfrac{1}{c^{2}}\], ta có:
\[\dfrac{1}{DC^{2}}=\dfrac{1}{DL^{2}}+\dfrac{1}{DK^{2}}\] [mà \[DL=DI]\]
Suy ra \[\dfrac{1}{DC^{2}}=\dfrac{1}{DI^{2}}+\dfrac{1}{DK^{2}}\]
Do \[DC\] không đổi nên\[\dfrac{1}{DI^{2}}+\dfrac{1}{DK^{2}}\]là không đổi.
Nhận xét: Câu a] chỉ là gợi ý để làm câu b]. Điều phải chứng minh ở câu b] rất gần với hệ thức\[\dfrac{1}{h^{2}}=\dfrac{1}{b^{2}}+\dfrac{1}{c^{2}}\]
Nếu đề bài không cho vẽ\[DL\perp DK\]thì ta vẫn phải vẽ đường phụ\[DL\perp DK\]để có thể vận dụng hệ thức trên.