Đề bài
Một đa giác có 9 đường chéo, tính số cạnh của đa giác.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Đa giác n cạnh [n>2] có số đường chéo là\[\dfrac{{n\left[ {n - 3} \right]}}{2}\] đường chéo.
Từ đó ta tính được n.
Lời giải chi tiết
Gọi n là số cạnh của đa giác \[\left[ {n \in {N^*},n \ge 4} \right].\] Từ mỗi đỉnh ta kẻ được n 3 đường chéo. Vậy có n đỉnh nên kẻ được \[n\left[ {n - 3} \right]\] đường chéo. Trong đó mỗi đường chéo được tính hai lần.
Vậy có \[\dfrac{{n\left[ {n - 3} \right]}}{2}\] đường chéo.
Theo bài ra ta có: \[\dfrac{{n\left[ {n - 3} \right]}}{2}= 9\]
\[\Rightarrow n\left[ {n - 3} \right] = 18 \Rightarrow {n^2} - 3n = 18\]
\[ \Rightarrow {n^2} - 3n - 18 = 0 \]
\[\Rightarrow {n^2} + 3n - 6n - 18 = 0\]
\[ \Rightarrow n\left[ {n + 3} \right] - 6\left[ {n + 3} \right] = 0\]
\[\Rightarrow \left[ {n + 3} \right]\left[ {n - 6} \right] = 0\]
\[ \Rightarrow n = 6\] [ vì \[n \ge 4 \Rightarrow n + 3 \ne 0\] ].