- Bài I.5
- Bài I.6
- Bài I.7
Bài I.5
Tìm \[x, y\] biết \[\displaystyle {{{x^2} + {y^2}} \over {10}} = {{{x^2} - 2{y^2}} \over 7}\]và \[{x^4}{y^4} = 81\].
Phương pháp giải:
Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:
\[\dfrac{x}{a} = \dfrac{y}{b} = \dfrac{{x + y}}{{a + b}}\,\left[ {a,b,a + b \ne 0} \right]\]
Ta đặt\[{x^2} = a\left[ {a \ge 0} \right],{y^2} = b\left[ {b \ge 0} \right]\] sau đó tìm \[a, b\].
Lời giải chi tiết:
Đặt\[{x^2} = a\left[ {a \ge 0} \right],{y^2} = b\left[ {b \ge 0} \right]\]
Ta có \[\displaystyle {{a + b} \over {10}} = {{a - 2b} \over 7}\]và \[{a^2}{b^2} = 81\].
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
\[\displaystyle {{a + b} \over {10}} = {{a - 2b} \over 7} = {{[a + b] - [a - 2b]} \over {10 - 7}}\]\[\,\displaystyle = {{3b} \over 3} = b\] [1]
\[\displaystyle {{a + b} \over {10}} = {{2a + 2b} \over {20}}= {{a - 2b} \over 7} \]\[\,\displaystyle = {{[2a + 2b] + [a - 2b]} \over {20 + 7}} = {{3a} \over {27}} = {a \over 9}\] [2]
Từ [1] và [2] suy ra \[\displaystyle {a \over 9} = b \Rightarrow a = 9b\]
Do \[{a^2}{b^2} = 81\]nên \[{[9b]^2}.{b^2}= 81\] \[\Rightarrow 81{b^4} = 81 \Rightarrow {b^4} = 1 \Rightarrow b = 1\][vì \[b 0\]]
Suy ra \[a = 9 . 1 = 9\].
Ta có \[{x^2} = 9\]và \[{y^2} = 1\]. Suy ra \[x = ±3, y = ±1.\]
Bài I.6
Với giá trị nào của \[x\] thì \[A = \left| {x - 3} \right| + \left| {x - 5} \right| + \left| {x - 7} \right|\]đạt giá trị nhỏ nhất?
Phương pháp giải:
Áp dụng tính chất:
\[\begin{array}{l}
+]\,|A| \ge A\\
+]\,|A| = | - A|\\
+]\,|A| \ge 0
\end{array}\]
+]\[\left| x \right| + \left| y \right| \ge \left| {x + y} \right|\]
Dấu "=" xảy ra khi \[xy\ge 0\]
Lời giải chi tiết:
Ta có: \[\left| {x - 7} \right|=\left| {7 - x} \right|\]
Nên\[A = \left| {x - 3} \right| + \left| {x - 5} \right| + \left| {7 - x} \right|\]
Lại có:\[\left| {x - 3} \right| + \left| {7- x} \right|\]\[\ge |x-3+7-x|=|4|=4\] [áp dụng bài 140 SBT trang 34:\[\left| x \right| + \left| y \right| \ge \left| {x + y} \right|]\]
Mà\[\left| {x - 5} \right| \ge 0\]
Nên \[A = \left| {x - 3} \right| + \left| {x - 5} \right| + \left| {7 - x} \right|\]\[\, \ge 0+4 = 4\]
Dấu ''='' xảy ra khi:
\[\left\{ \matrix{
x - 3 \ge 0 \hfill \cr
x - 5 = 0 \hfill \cr
7 - x \ge 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \ge 3 \hfill \cr
x = 5 \hfill \cr
x \le 7 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x = 5\]
Vậy \[ x = 5\] thì \[A\] đạt giá trị nhỏ nhất là \[4.\]
Bài I.7
Với giá trị nào của \[x\] thì \[B = \left| {x - 1} \right| + \left| {x - 2} \right| + \left| {x - 3} \right| + \left| {x - 5} \right|\]đạt giá trị nhỏ nhất?
Phương pháp giải:
Áp dụng tính chất:
\[\begin{array}{l}
|A| \ge A\\
|A| = | - A|\\
|A| \ge 0
\end{array}\]
Lời giải chi tiết:
Ta có: \[\left| {x - 3} \right|=\left| {3 - x} \right|\] và\[\left| {x - 5} \right|=\left| {5 - x} \right|\]
Suy ra:
\[\eqalign{
& B = \left| {x - 1} \right| + \left| {x - 2} \right| + \left| {3 - x} \right| + \left| {5 - x} \right| \cr
& \Rightarrow B \ge x - 1 + x - 2 + 3 - x + 5 - x =5\cr} \] [vì \[|A| \ge A\]]
Dấu ''='' xảy ra khi và chỉ khi
\[\left\{ \matrix{
x - 1 \ge 0 \hfill \cr
x - 2 \ge 0 \hfill \cr
3 - x \ge 0 \hfill \cr
5 - x \ge 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \ge 1 \hfill \cr
x \ge 2 \hfill \cr
x \le 3 \hfill \cr
x \le 5 \hfill \cr} \right.\]\[\, \Leftrightarrow 2 \le x \le 3.\]
Vậy \[2 x 3\] thì \[B\] đạt giá trị nhỏ nhất là \[5.\]