- LG a
- LG b
- LG c
Tìm giá trị nhỏ nhất của các đa thức:
LG a
\[\] \[ P= {x^2} - 2x + 5\]
Phương pháp giải:
Sử dụng hằng đẳng thức để đánh giá các biểu thức đã cho.
\[\] \[ [A-B]^2+m \ge m\] với mọi \[A,\,B.\] Dấu \["="\] xảy ra khi \[A=B\].
Lời giải chi tiết:
\[\] \[P= {x^2} - 2x + 5\]\[ = {x^2} - 2x + 1 + 4 = {\left[ {x - 1} \right]^2} + 4\]
Ta có:
\[{\left[ {x - 1} \right]^2} \ge 0 \Rightarrow {\left[ {x - 1} \right]^2} + 4 \ge 4\]
\[ \Rightarrow P = {x^2} - 2x + 5 \]\[= {\left[ {x - 1} \right]^2} + 4 \ge 4\]
\[ \Rightarrow P = 4\] là giá trị bé nhất khi \[{\left[ {x - 1} \right]^2} = 0\]\[ \Rightarrow x = 1\]
Vậy \[P=4\] là giá trị bé nhất của đa thức khi \[x=1\].
LG b
\[\] \[Q = 2{x^2} - 6x\]
Phương pháp giải:
Sử dụng hằng đẳng thức để đánh giá các biểu thức đã cho.
\[\] \[[A+B]^2+m \ge m\]với mọi \[A,\,B.\] Dấu \["="\] xảy ra khi \[A=-B\].
Lời giải chi tiết:
\[\] \[ Q= 2{x^2} - 6x\]\[ = 2\left[ {{x^2} - 3x} \right] \]\[= 2\left[ {{x^2} - 2.\displaystyle{3 \over 2}x + {9 \over 4} - {9 \over 4}} \right]\]
\[ \displaystyle= 2\left[ {{{\left[ {x - {3 \over 2}} \right]}^2} - {9 \over 4}} \right]\]\[\displaystyle = 2{\left[ {x - {3 \over 2}} \right]^2} - {9 \over 2}\]
Ta có:
\[\displaystyle{\left[ {x - {3 \over 2}} \right]^2} \ge 0 \Rightarrow 2{\left[ {x - {3 \over 2}} \right]^2} \ge 0\]\[\displaystyle \Rightarrow 2{\left[ {x - {3 \over 2}} \right]^2} - {9 \over 2} \ge - {9 \over 2}\]
Do đó:\[\displaystyle\Rightarrow Q =2{\left[ {x - {3 \over 2}} \right]^2} - {9 \over 2} \ge - {9 \over 2}\]
\[\displaystyle\Rightarrow Q = - {9 \over 2}\]là giá trị nhỏ nhất khi \[\displaystyle{\left[ {x - {3 \over 2}} \right]^2} = 0\]\[\displaystyle \Rightarrow x = {3 \over 2}\]
Vậy \[\displaystyle Q = - {9 \over 2}\] là giá trị bé nhất của đa thức \[x = \displaystyle{3 \over 2}\]
LG c
\[\] \[M = {x^2} + {y^2} - x + 6y + 10\]
Phương pháp giải:
Sử dụng hằng đẳng thức để đánh giá các biểu thức đã cho.
\[\] \[ A^2+B^2+m \ge m\] với mọi \[A,\,B.\] Dấu \["="\] xảy ra khi \[A=0\] và \[B=0\].
Lời giải chi tiết:
\[\] \[\displaystyle M = {x^2} + {y^2} - x + 6y + 10 \]\[\displaystyle= \left[ {{y^2} + 6y + 9} \right] + \left[ {{x^2} - x + 1} \right] \]\[\displaystyle = {\left[ {y + 3} \right]^2} + \left[ {{x^2} - 2.\displaystyle{1 \over 2}x + {1 \over 4} + {3 \over 4}} \right] \]\[\displaystyle= {\left[ {y + 3} \right]^2} + {\left[ {x - {1 \over 2}} \right]^2} + {3 \over 4} \]
Ta có:
\[ {\left[ {y + 3} \right]^2} \ge 0;\]\[\displaystyle{\left[ {x - {1 \over 2}} \right]^2} \ge 0\]\[ \Rightarrow {\left[ {y + 3} \right]^2} + {\left[ {x - \displaystyle{1 \over 2}} \right]^2} \ge 0 \]\[\Rightarrow {\left[ {y + 3} \right]^2} + {\left[ {x - \displaystyle{1 \over 2}} \right]^2} + \displaystyle{3 \over 4} \ge \displaystyle{3 \over 4}\]
\[ \Rightarrow M = \displaystyle{\left[ {y + 3} \right]^2} + {\left[ {x - \displaystyle{1 \over 2}} \right]^2} + \displaystyle{3 \over 4} \ge \displaystyle{3 \over 4}\]
\[ \Rightarrow M = \displaystyle{3 \over 4}\] là giá trị nhỏ nhất khi \[{\left[ {y + 3} \right]^2} = 0\]\[ \Rightarrow y = - 3\] và \[{\left[ {x - \displaystyle{1 \over 2}} \right]^2} = 0 \]\[\Rightarrow x = \displaystyle{1 \over 2}\]
Vậy \[M = \displaystyle{3 \over 4}\] là giá trị bé nhất tại \[y = - 3\] và \[x =\displaystyle {1 \over 2}\]