- LG a
- LG b
LG a
Chứng tỏ rằng nếu \[\displaystyle {a \over b} < {c \over d}\;\;[b > 0,d > 0]\]thì \[\displaystyle {a \over b} < {{a + c} \over {b + d}} < {c \over d}\]
Phương pháp giải:
- Hai phân số cùng mẫu dương, tử số của phân số nào lớn hơn thì phân số đó lớn hơn.
Ta có:
\[\begin{array}{l}
a < c \Rightarrow \dfrac{a}{b} < \dfrac{c}{b}\,\,\left[ \text{với }{b > 0} \right]\\
\dfrac{a}{b} < \dfrac{c}{b}\,\,\left[\text{với } {b > 0} \right] \Rightarrow a < c
\end{array}\]
- Tính chất nhân phân phối của phép nhân đối với phép cộng:
\[ab+ac=a[b+c]\].
Lời giải chi tiết:
Ta có: \[\displaystyle {a \over b} = {{a{\rm{d}}} \over {b{\rm{d}}}};{c \over d} = {{bc} \over {b{\rm{d}}}}\]
Vì \[b>0, d > 0 \Rightarrow bd > 0\].
Mà \[\displaystyle {a \over b} < {c \over d}\]nên \[\displaystyle {{a{\rm{d}}} \over {b{\rm{d}}}} < {{bc} \over {b{\rm{d}}}}\]\[\Rightarrow ad < bc\] [vì \[bd>0\]] [1]
Cộng vào hai vế của [1] với \[ab\] ta được:
\[a{\rm{d}} + ab < bc + ab \]
\[\Rightarrow a\left[ {b + d} \right] < b\left[ {a + c} \right] \] [*]
Chia cả hai vế [*] với \[b[b+d]\] ta được:
\[ \displaystyle {a \over b} < {{a + c} \over {b + d}}\] [2]
Cộng vào hai vế của [1] với \[cd\] ta được:
\[a{\rm{d}} + c{\rm{d}} < bc + c{\rm{d}}\]
\[\Rightarrow d\left[ {a + c} \right] < c\left[ {b + d} \right]\] [2*]
Chia cả hai vế [2*] với \[d[b+d]\] ta được:
\[ \displaystyle {{a + c} \over {b + d}} < {c \over d}\] [3]
Từ [2] và [3] suy ra: \[\displaystyle {a \over b} < {{a + c} \over {b + d}} < {c \over d}\]
LG b
Hãy viết ba số hữu tỉ xen giữa \[\displaystyle{{ - 1} \over 3}\]và \[\displaystyle{{ - 1} \over 4}\].
Phương pháp giải:
Áp dụng kết quả câu a.
Lời giải chi tiết:
Ta có: \[\displaystyle {{ - 1} \over 3} < {{ - 1} \over 4}\]
Áp dụng câu a] ta có:
\[\displaystyle {{ - 1} \over 3} < {{ - 1 + [ - 1]} \over {3 + 4}} = {{ - 2} \over 7} < {{ - 1} \over 4}\]
Vì \[\displaystyle {{ - 1} \over 3} < {{ - 2} \over 7}\]
\[\displaystyle \Rightarrow {{ - 1} \over 3} < {{ - 1 + [ - 2]} \over {3 + 7}} = {{ - 3} \over {10}} < {{ - 2} \over 7}\]
Vì \[\displaystyle {{ - 1} \over 3} < {{ - 3} \over {10}} \]
\[\displaystyle \Rightarrow {{ - 1} \over 3} < {{ - 1 + [ - 3]} \over {3 + 10}} = {{ - 4} \over {13}} < {{ - 3} \over {10}}\]
Vậy \[\displaystyle {{ - 1} \over 3} < {{ - 4} \over {13}} < {{ - 3} \over {10}} < {{ - 2} \over 7} < {{ - 1} \over 4}\].