Đề bài
Cho hai đường tròn \[[O]\] và \[[O]\] tiếp xúc ngoài tại \[A.\] Kẻ tiếp tuyến chung ngoài \[DE, D [O],\] \[E [O].\] Kẻ tiếp tuyến chung tại \[A,\] cắt \[DE\] ở \[I.\] Gọi \[M\] là giao điểm của \[OI\] và \[AD,\] \[N\] là giao điểm của \[OI\] và \[AE.\]
\[a]\] Tứ giác \[AMIN\] là hình gì \[?\] Vì sao \[?\]
\[b]\] Chứng minh hệ thức \[IM.IO = IN.IO.\]
\[c]\] Chứng minh rằng \[OO\] là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính là \[DE.\]
\[d]\] Tính độ dài \[DE\] biết rằng \[OA = 5cm,\]\[ OA = 3,2cm.\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức:
\[*\]] Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì
+] Điểm đó cách đều hai tiếp điểm.
+] Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến.
\[*\]] Tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật.
\[*\]] Hệ thức lượng trong tam giác vuông:
+] Bình phương cạnh góc vuông bằng tíchcạnh huyềnvới hình chiếu cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền.
+] Bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tích hai hình chiếu hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền.
Lời giải chi tiết
\[a]\] Trong đường tròn \[[O]\] ta có \[OI\] là tia phân giác của góc \[AID\] [ tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau IA và ID]
Trong đường tròn \[[O]\] ta có \[OI\] là tia phân giác của góc \[AIE\] [tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau IA và IE]
Màgóc \[AID\] vàgóc \[AIE\] là hai góc kề bù nên \[IO IO'\] [ tính chất hai góc kề bù]
\[\Rightarrow\] \[\widehat {OIO'} = 90^\circ \] hay \[\widehat {MIN} = 90^\circ \]
Xét đường tròn [O] có \[IA = ID \] [[tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau IA và ID]
\[\Rightarrow\] Tam giác \[ADI\] cân tại \[ I.\]
Tam giác \[ADI\] cân tại I có \[IO\] là phân giác của góc \[AID\] nên \[IO\] cũng là đường cao của tam giác \[AID.\]
\[\Rightarrow\]\[IO AD\] hay \[\widehat {AMI} = 90^\circ \]
Xét đường tròn [O'] có\[IA = IE\] [tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau IA và IE]
\[\Rightarrow\] Tam giác \[AEI\] cân tại \[ I.\]
Tam giác cân \[AIE\] có \[IO'\] là phân giác của góc \[AIE\] nên \[IO'\] cũng là đường cao của tam giác \[AIE.\]
\[\Rightarrow\]\[IO' AE\] hay \[\widehat {ANI} = 90^\circ \]
Tứ giác \[AMIN\] là hình chữ nhật [ Tứ giác có ba góc vuông]
\[b]\] Tam giác \[AIO\] vuông tại \[A\] có \[AM IO.\]
Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông \[AIO\], ta có:
\[IA^2= IM.IO \;\;\; [1]\]
Tam giác \[AIO'\] vuông tại \[A\] có \[AN IO'.\]
Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông \[AIO'\], ta có:
\[IA^2= IN.IO' \;\;\; [2]\]
Từ \[[1]\] và \[[2]\] suy ra: \[IM.IO = IN.IO'\]
\[c]\] Ta có: \[IA = ID\] và \[IA = IE \] [ chứng minh trên] nên \[IA=ID=IE=\dfrac{DE}2\]
\[\Rightarrow\]\[A\] nằm trên đường tròn tâm \[I\] đường kính \[DE.\]
Vì \[OO' IA\] tại \[A\] nên \[OO'\] là tiếp tuyến của đường tròn \[\displaystyle \left[ {I;{{DE} \over 2}} \right].\]
\[d]\] Tam giác \[O'IO\] vuông tại \[I\] có \[IA OO'.\]
Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông \[O'IO\], ta có:
\[ IA^2= OA.O'A = 5.3,2 = 16\]
\[\Rightarrow\]\[IA = 4 [cm].\]
Mà \[IA=\dfrac{DE}2\Rightarrow DE = 2IA\] nên \[DE = 2.4 = 8 [cm].\]