Câu 1 [3,0 điểm].
1] Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị \[\left[ P \right]\] của hàm số \[y = {x^2}{\rm{ + }}2x-3\]
2] Tìm tọa độ giao điểm của \[\left[ P \right]\]và đường thẳng \[d:{\rm{ }}y{\rm{ }} = {\rm{ }}x{\rm{ }}-{\rm{ }}1\]
3] Tìm \[m\] sao cho đường thẳng \[y{\rm{ }} = {\rm{ }}2m\] cắt \[\left[ P \right]\] tại hai điểm phân biệt có hoành độ âm.
Câu 2 [3,5 điểm]. Giải các phương trình sau :
\[1]\,\left[ {{x^2} - 7x + 10} \right]\sqrt {4 - x} = 0\]
\[2]\,\left| {{x^2} - 5x + 5} \right| = x - 3\]
\[3]\,\sqrt {2x + 3} = 2 + \sqrt {x - 2} \]
Câu 3 [0,5 điểm].
Tìm \[m\] sao cho phương trình sau có đúng \[2\] nghiệm :
\[4{x^2} - 8x + 22 = 3m + 12\sqrt {2{x^2} - 4x + 6} \]
Câu IV [3,0 điểm] Trong mặt phẳng tọa độ \[Oxy\] cho tam giác \[ABC\] có \[A\left[ {1; - 1} \right],\,B\left[ {4; - 3} \right]\] và \[C\left[ {5;5} \right].\]
1] Chứng minh rằng tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\] và tính diện tích tam giác \[ABC.\]
2] Tìm điểm \[D\] trên trục hoành sao cho ba điểm \[A,\,B,\,D\] thẳng hàng.
3] Tìm điểm \[M\] trên đường thẳng \[d:y = 2x - 1\] sao cho \[M{A^2} + M{B^2} + M{C^2}\] đạt giá trị nhỏ nhất.
----------HẾT----------
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Thực hiện: Ban chuyên môn
Câu 1 [VD]:
Phương pháp:
a] Tìm hoành độ đỉnh, trục đối xứng của Parabol, từ đó suy ra khoảng đồng biến nghịch biến và lập bảng biến thiên.
b] Xét phương trình hoành độ giao điểm tìm nghiệm.
c] Nhận xét điều kiện từ đồ thị đã vẽ.
Cách giải:
1] Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị \[\left[ P \right]\] của hàm số \[y = {x^2} + 2x-3\]
Ta có: \[ - \dfrac{b}{{2a}} = - \dfrac{2}{{2.1}} = - 1, - \dfrac{\Delta }{{4a}} = - 4\]
Vì \[a = 1 > 0\] nên hàm số nghịch biến trên \[\left[ { - \infty ; - 1} \right]\] và đồng biến trên \[\left[ { - 1; + \infty } \right]\].
Bảng biến thiên:
Đồ thị:
Đỉnh \[P\left[ { - 1; - 4} \right]\], cắt \[Ox\] tại \[\left[ {1;0} \right],\left[ { - 3;0} \right]\], cắt \[Oy\] tại \[\left[ {0; - 3} \right]\], đi qua điểm \[\left[ { - 2; - 3} \right]\].
Trục đối xứng \[x = - 1\], bề lõm hướng lên trên.
2] Tìm tọa độ giao điểm của \[\left[ P \right]\]và đường thẳng \[d:{\rm{ }}y{\rm{ }} = {\rm{ }}x{\rm{ }}-{\rm{ }}1\]
Xét phương trình hoành độ giao điểm \[{x^2} + 2x - 3 = x - 1\] \[ \Leftrightarrow {x^2} + x - 2 = 0\]
\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1,y = 0\\x = - 2,y = - 3\end{array} \right.\]
Vậy giao điểm là \[A\left[ {1;0} \right],B\left[ { - 2; - 3} \right]\].
3] Tìm \[m\] sao cho đường thẳng \[y{\rm{ }} = {\rm{ }}2m\] cắt \[\left[ P \right]\] tại hai điểm phân biệt có hoành độ âm.
Đường thẳng \[y = 2m\] đi qua điểm \[\left[ {0;2m} \right]\] và song song hoặc trùng với trục hoành.
Từ đồ thị ta thấy YCBT thỏa mãn khi \[ - 4 < 2m < - 3 \Leftrightarrow - 2 < m < - \dfrac{3}{2}\].
Vậy \[ - 2 < m < - \dfrac{3}{2}\].
Câu 2 [VD]:
Phương pháp:
1] Giải phương trình tích \[AB = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A = 0\\B = 0\end{array} \right.\]
2] Bình phương hai vế chú ý điều kiện.
3] Bình phương hai vế chú ý điều kiện.
Cách giải:
\[1]\,\left[ {{x^2} - 7x + 10} \right]\sqrt {4 - x} = 0\]
ĐK: \[4 - x \ge 0 \Leftrightarrow x \le 4\]
Khi đó PT\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} - 7x + 10 = 0\\4 - x = 0\end{array} \right.\] \[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left[ {x - 2} \right]\left[ {x - 5} \right] = 0\\4 - x = 0\end{array} \right.\] \[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\left[ {TM} \right]\\x = 5\left[ {KTM} \right]\\x = 4\left[ {TM} \right]\end{array} \right.\]
Vậy phương trình có tập nghiệm \[S = \left\{ {4;2} \right\}\].
\[2]\,\left| {{x^2} - 5x + 5} \right| = x - 3\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 3 \ge 0\\{\left[ {{x^2} - 5x + 5} \right]^2} = {\left[ {x - 3} \right]^2}\end{array} \right.\] \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 3\\\left[ {{x^2} - 5x + 5 - x + 3} \right]\left[ {{x^2} - 5x + 5 + x - 3} \right] = 0\end{array} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 3\\\left[ {{x^2} - 6x + 8} \right]\left[ {{x^2} - 4x + 2} \right] = 0\end{array} \right.\] \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 3\\\left[ \begin{array}{l}{x^2} - 6x + 8 = 0\\{x^2} - 4x + 2 = 0\end{array} \right.\end{array} \right.\] \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 3\\\left[ \begin{array}{l}x = 2,x = 4\\x = 2 \pm \sqrt 2 \end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 4\\x = 2 + \sqrt 2 \end{array} \right.\]
Vậy phương trình có tập nghiệm \[S = \left\{ {4;2 + \sqrt 2 } \right\}\].
\[3]\,\sqrt {2x + 3} = 2 + \sqrt {x - 2} \]
ĐK: \[\left\{ \begin{array}{l}2x + 3 \ge 0\\x - 2 \ge 0\end{array} \right.\] \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge - \dfrac{3}{2}\\x \ge 2\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ge 2\]
PT\[ \Leftrightarrow 2x + 3 = 4 + 4\sqrt {x - 2} + x - 2\] \[ \Leftrightarrow x + 1 = 4\sqrt {x - 2} \] \[ \Leftrightarrow {\left[ {x + 1} \right]^2} = 16\left[ {x - 2} \right]\]
\[ \Leftrightarrow {x^2} + 2x + 1 = 16x - 32\] \[ \Leftrightarrow {x^2} - 14x + 33 = 0\] \[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 11\\x = 3\end{array} \right.\left[ {TM} \right]\]
Vậy phương trình có tập nghiệm \[S = \left\{ {11;3} \right\}\].
Câu 3 [VDC]:
Phương pháp:
- Đặt ẩn phụ \[t = \sqrt {2{x^2} - 4x + 6} \], tìm điều kiện của \[t\].
- Biến đổi phương trình về dạng \[3m = f\left[ t \right]\] rồi dùng phương pháp hàm số tìm điều kiện của \[m\].
Cách giải:
Tìm \[m\] sao cho phương trình sau có đúng \[2\] nghiệm :\[4{x^2} - 8x + 22 = 3m + 12\sqrt {2{x^2} - 4x + 6} \]
Đặt \[t = \sqrt {2{x^2} - 4x + 6} \ge 0\] ta có:
\[2{x^2} - 4x + 6 = 2\left[ {{x^2} - 2x + 1} \right] + 4\] \[ = 2{\left[ {x - 1} \right]^2} + 4 \ge 4\] \[ \Rightarrow {t^2} \ge 4 \Rightarrow t \ge 2\]
Khi đó phương trình trở thành \[2{t^2} + 10 = 3m + 12t\] \[ \Leftrightarrow 2{t^2} - 12t + 10 = 3m\,\left[ 1 \right]\]
Ứng với mỗi một giá trị \[t > 2\] thì có hai giá trị của \[x\], do đó yêu cầu bài toán thỏa khi \[\left[ 1 \right]\] có nghiệm duy nhất \[t > 2\].
Xét hàm số \[f\left[ t \right] = 2{t^2} - 12t + 10\] với \[t \ge 2\].
Ta có: \[ - \dfrac{b}{{2a}} = - \dfrac{{ - 12}}{{2.2}} = 3\], \[ - \dfrac{\Delta }{{4a}} = - 8\].
Vì \[a = 2 > 0\] nên hàm số đồng biến trên \[\left[ {3; + \infty } \right]\] và nghịch biến trên \[\left[ { - \infty ;3} \right]\].
Bảng biến thiên:
Đường thẳng \[y = 3m\] đi qua điểm \[\left[ {0;3m} \right]\] và song song hoặc trùng với trục hoành tại điểm \[\left[ {0;3m} \right]\].
Phương trình [1] có nghiệm duy nhất \[t > 2\] \[ \Leftrightarrow \] đường thẳng \[y = 3m\] cắt đồ thị hàm số \[f\left[ t \right]\] tại điểm duy nhất \[t > 2\] \[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3m > - 6\\3m = - 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > - 2\\m = - \dfrac{8}{3}\end{array} \right.\].
Vậy \[\left[ \begin{array}{l}m > - 2\\m = - \dfrac{8}{3}\end{array} \right.\].
Câu 4 [VD ]:
Phương pháp:
1] Tích tích vô hướng \[\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \].
2] Ba điểm \[A,B,D\] thẳng hàng nếu \[\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} \] cùng phương.
3] Gọi \[M\left[ {a;2a - 1} \right] \in d\], tính \[M{A^2} + M{B^2} + M{C^2}\] theo \[a\] và tìm GTNN.
Cách giải:
1] Chứng minh rằng tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\] và tính diện tích tam giác \[ABC.\]
Ta có: \[\overrightarrow {AB} = \left[ {3; - 2} \right]\] \[ \Rightarrow AB = \sqrt {{3^2} + {{\left[ { - 2} \right]}^2}} = \sqrt {13} \]
\[\overrightarrow {AC} = \left[ {4;6} \right]\] \[ \Rightarrow AC = \sqrt {{4^2} + {6^2}} = 2\sqrt {13} \]
\[\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 3.4 - 2.6 = 0\] nên \[AB \bot AC\] hay \[ABC\] là tam giác vuông tại \[A\].
Diện tích \[{S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}AB.AC\] \[ = \dfrac{1}{2}.\sqrt {13} .2\sqrt {13} = 13\].
2] Tìm điểm \[D\] trên trục hoành sao cho ba điểm \[A,\,B,\,D\] thẳng hàng.
Gọi \[D\left[ {x;0} \right] \in Ox\]\[ \Rightarrow \overrightarrow {AD} = \left[ {x - 1;1} \right]\],\[\overrightarrow {AB} = \left[ {3; - 2} \right]\]
\[A,B,D\] thẳng hàng \[ \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} \] cùng phương \[ \Leftrightarrow \dfrac{{x - 1}}{3} = \dfrac{1}{{ - 2}}\] \[ \Leftrightarrow - 2x + 2 = 3 \Leftrightarrow x = - \dfrac{1}{2}\].
Vậy \[D\left[ { - \dfrac{1}{2};0} \right]\].
3] Tìm điểm \[M\] trên đường thẳng \[d:y = 2x - 1\] sao cho \[M{A^2} + M{B^2} + M{C^2}\] đạt giá trị nhỏ nhất.
Gọi \[M\left[ {a;2a - 1} \right] \in d\] ta có:
\[\overrightarrow {MA} = \left[ {1 - a; - 2a} \right]\]\[ \Rightarrow M{A^2} = {\left[ {1 - a} \right]^2} + {\left[ { - 2a} \right]^2}\] \[ = 1 - 2a + {a^2} + 4{a^2}\] \[ = 5{a^2} - 2a + 1\]
\[\overrightarrow {MB} = \left[ {4 - a; - 2 - 2a} \right]\]\[ \Rightarrow M{A^2} = {\left[ {4 - a} \right]^2} + {\left[ { - 2 - 2a} \right]^2}\] \[ = 16 - 8a + {a^2} + 4 + 8a + 4{a^2}\] \[ = 5{a^2} + 20\]
\[\overrightarrow {MC} = \left[ {5 - a;6 - 2a} \right]\]\[ \Rightarrow M{A^2} = {\left[ {5 - a} \right]^2} + {\left[ {6 - 2a} \right]^2}\] \[ = 25 - 10a + {a^2} + 36 + 24a + 4{a^2}\]\[ = 5{a^2} + 14a + 61\]
\[ \Rightarrow M{A^2} + M{B^2} + M{C^2}\] \[ = 5{a^2} - 2a + 1 + 5{a^2} + 20 + 5{a^2} + 14a + 61\] \[ = 15{a^2} + 12a + 82\]
\[ = 15\left[ {{a^2} + \dfrac{4}{5}a + \dfrac{4}{{25}}} \right] + \dfrac{{398}}{5}\] \[ = 15{\left[ {a + \dfrac{2}{5}} \right]^2} + \dfrac{{398}}{5} \ge \dfrac{{398}}{5}\]
Do đó \[{\left[ {M{A^2} + M{B^2} + M{C^2}} \right]_{\min }} = \dfrac{{398}}{5}\] khi \[a + \dfrac{2}{5} = 0 \Leftrightarrow a = - \dfrac{2}{5}\] \[ \Rightarrow 2a - 1 = - \dfrac{9}{5}\]
Vậy \[M\left[ { - \dfrac{2}{5}; - \dfrac{9}{5}} \right]\].