Đề bài
Cho hình 12, \[M\]là một điểm tùy ý nằm trên đường thẳng \[a.\]Vẽ điểm \[C\]sao cho \[a\]là đường trung trực của \[AC.\]
a] Hãy so sánh \[MA + MB\]với \[BC.\]
b] Tìm vị trí của điểm \[M\]trên đường thẳng \[a\]để \[MA + MB\]là nhỏ nhất.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng:
+]Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai mút của đoạn thẳng đó
+] Trong một tam giác, tổng hai cạnh luôn lớn hơn cạnh còn lại
Lời giải chi tiết
a] Gọi \[N\]là giao điểm của \[BC\]với đường thẳng \[a.\]
+] Nếu \[M \ne N\]
Nối \[MC\]
Vì \[a\]là đường trung trực của \[AC\]mà \[M a\]
\[ \Rightarrow MA = MC\] [tính chất đường trung trực] [1]
Trong \[MBC\]ta có:
\[BC < MB + MC\] [bất đẳng thức tam giác] [2]
Thay [1] vào [2] ta có: \[BC < MA + MB\]
+] Nếu \[M\] trùng với \[N,\] ta nối \[NA\]
Vì \[a\]là đường trung trực của \[AC\]mà \[N a\]
\[\Rightarrow NA = NC\] [tính chất đường trung trực]
Nên \[MA + MB = NA + NB\]\[ = NC + NB = BC\]
Vậy: \[MA + MB BC\]
b] Theo chứng minh câu a ta có: Khi \[M\] trùng với \[N\] thì \[MA + MB = BC\] lànhỏ nhất.
Vậy \[M\] là giao điểm của \[BC\] với đường thẳng \[a\] thì \[MA + MB\] nhỏ nhất.