Đề bài
Cho hai đường tròn có phương trình \[{x^2} + {y^2} + 2{a_1}x + 2{b_1}y + {c_1} = 0\]và \[{x^2} + {y^2} + 2{a_2}x + 2{b_2}y + {c_2} = 0.\] Giả sử chúng cắt nhau ở hai điểm M,N. Viết phương trình đường thẳng MN.
Lời giải chi tiết
* Do hai đường tròn [C1] : x2+ y2+ 2a1x + 2b1y + c1= 0 và [C2] : x2+ y2+ 2a2x + 2b2y + c2= 0 cắt nhau tại hai điểm M, N.
*Do [C1] và [C2] cắt nhau tại 2 điểm phân biệt M và N nên hai đường tròn này không đồng tâm.
=> [a2- a1]2+ [b2- b1]2 0 .
Tọa độ giao điểm của hai đường tròn là nghiệm của hệ phương trình
\[\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + 2{a_1}x + 2{b_1}y + {c_1} = 0\,\left[ 1 \right]\\{x^2} + {y^2} + 2{a_2}x + 2{b_2}y + {c_2} = 0\,\left[ 2 \right]\end{array} \right.\]
* Lấy [2] trừ [1] vế trừ vế ta được:
2[a2 a1]x + 2[b2 b1].y + [c2 c1] = 0 [*]
Do [a2- a1]2+ [b2- b1]2 0 nên [*] là phương trình đường thẳng
Vậy nếu [C1] và [C2] cắt nhau tại M, N thì tọa độ M, N thỏa mãn phương trình [*] hay [*] là phương trình đường thẳng MN.
Cách khác:
Hai đường tròn cắt nhau tại M, N thì trục đẳng phương của chúng chính là đường thẳng MN.
Áp dụng bài 7 thì MN có phương trình là
\[MN\,:\,\,2[{a_1} - {a_2}]x + 2[{b_1} - {b_2}]y + {c_1} - {c_2} = 0\]