Đề bài
Tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\], \[AB = a, AC = 3a\]. Trên cạnh \[AC\] lấy các điểm \[D, E\] sao cho \[AD = DE = EC.\]
a] Chứng minh: \[\displaystyle {{DE} \over {DB}} = {{DB} \over {DC}}\]
b] Chứng minh \[BDE\] đồng dạng \[CDB\]
c] Tính tổng \[\widehat {AEB} + \widehat {BCD}\] bằng hai cách
Cách 1:Sử dụng kết quả ở câu b];
Cách 2:Dùng máy tính bỏ túi hoặc bảng lượng giác.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Áp dụng định lí Py-ta-go trong tam giác vuông.
- Các trường hợp bằng nhau của tam giác.
- Sử dụng: Trong tam giác ABC vuông tại A thì \[tan\widehat {ACB} = \displaystyle {{AB} \over {AC}}\]
Lời giải chi tiết
a] Ta có:\[AD = DE = EC = \dfrac{{AC}}{3} = a\]
Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông \[ABD\], ta có:
\[B{D^2} = A{D^2} + A{B^2} = {a^2} + {a^2} = 2{a^2}\]
Suy ra: \[BD = a\sqrt 2 \]
Ta có:
\[\eqalign{
& {{DE} \over {DB}} = {a \over {a\sqrt 2 }} = {{\sqrt 2 } \over 2}; \cr
& {{DB} \over {DC}} = {{a\sqrt 2 } \over {2a}} = {{\sqrt 2 } \over 2} \cr} \]
Vậy \[\displaystyle {{DE} \over {DB}} = {{DB} \over {DC}}\]
b] Xét \[BDE\] và \[CDB\], ta có:
\[\displaystyle{{DE} \over {DB}} = {{DB} \over {DC}}\] [1]
\[\widehat {BDE} = \widehat {BDC}\] [2]
Từ [1] và [2] suy ra \[BDE\] đồng dạng \[CDB\] [c-g-c].
c] *Cách 1:
Ta có: \[BDE\] đồng dạng \[CDB\] \[\Rightarrow \widehat {BED} = \widehat {CBD}\]
Mặt khác:
\[\widehat {AEB} + \widehat {BCD} = \widehat {BED} + \widehat {BCD}\]\[ = \widehat {CBD} + \widehat {BCD}\] [3]
Trong \[BCD\], ta có:
\[\widehat {ADB} = \widehat {CBD} + \widehat {BCD}\][tính chất góc ngoài] [4]
Lại có: \[\widehat {ADB} = 45^\circ \][vì ABD vuông cân tại A] [5]
Từ [3], [4] và [5] suy ra: \[\widehat {AEB} + \widehat {BCD} = 45^\circ \]
* Cách 2:
Ta có: \[AE=AD+DE=2a\]
Trong tam giác \[ ABE\], ta có:
\[tan\widehat {AEB} = \displaystyle {{AB} \over {AE}} = {a \over {2a}} = {1 \over 2}\]
Suy ra: \[\widehat {AEB} = 26^\circ 34'\]
Trong tam giác vuông \[ABC\], ta có:
\[tan\widehat {ACB} = \displaystyle {{AB} \over {AC}} = {a \over {3a}} = {1 \over 3}\]
Suy ra: \[\widehat {ACB} = 18^\circ 26'\]
Suy ra\[\widehat {AEB} + \widehat {ACB}=26^\circ 34'+18^\circ 26'=45^0\]
Vậy \[\widehat {AEB} + \widehat {ACB} = \widehat {AEB} + \widehat {BCD} = 45^\circ \]