Đề bài
Cho điểm \[D\] nằm trong tam giác \[ABC\] sao cho \[\widehat {DAB} = \widehat {DBC} = \widehat {DCA} = \varphi .\] Chứng minh rằng:
a] \[{\sin ^3}\varphi = \sin [A - \varphi ]\]\[.\sin [B - \varphi ].\sin [C - \varphi ].\]
b] \[\cot \varphi = \cot A + \cot B + \cot C.\]
Lời giải chi tiết
[h.75].
a] Theo định lí sin, trong tam giác \[ABD\] ta có
\[\dfrac{{DB}}{{\sin \varphi }} = \dfrac{{AD}}{{\sin [B - \varphi ]}}\] , [1]
trong tam giác BCD có
\[\dfrac{{CD}}{{\sin \varphi }} = \dfrac{{BD}}{{\sin [C - \varphi ]}}\], [2]
trong tam giác \[ACD\] có
\[\dfrac{{AD}}{{\sin \varphi }} = \dfrac{{CD}}{{\sin [A - \varphi ]}}\].
Từ đó ta có
\[\dfrac{{AD.BD.CD}}{{{{\sin }^3}\varphi }}\]
\[= \dfrac{{AD.BD.CD}}{{\sin [A - \varphi ]\sin [B - \varphi ]\sin [C - \varphi ]}}\].
Suy ra đẳng thức cần chứng minh.
b] Áp dụng định lí cosin vào tam giác \[DAB\] ta có
\[B{D^2}\]\[ = A{B^2} + A{D^2} - 2.AB.AD.\cos \varphi. \]
Mặt khác, \[\dfrac{1}{2}AB.AD.\sin \varphi = {S_{ABD}}\] .
Từ đó suy ra \[B{D^2} = A{B^2} + A{D^2} - 4{S_{ABD}}.\cot \varphi \].
Tương tự ta cũng có \[C{D^2} = B{C^2} + B{D^2} - 4{S_{DBC}}.\cot \varphi ;\] \[ A{D^2} = A{C^2} + C{D^2} - 4{S_{DCA}}.\cot \varphi. \]
Cộng theo vế rồi biến đổi, chú ý rằng tổng diện tích ba tam giác nhỏ bằng diện tích \[S\] của tam giác \[ABC\], ta được
\[\cot \varphi = \dfrac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{4S}}\] \[ = \dfrac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{abc}}R.\]
Theo bài58 chương II, \[\cot A + \cot B + \cot C\] \[ = \dfrac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{abc}}R.\]
Từ đó suy ra đẳng thức cần chứng minh.