Đề bài
Cho hai hàm số
\[f\left[ x \right] = {\sin ^4}x + {\cos ^4}x\] và\[g\left[ x \right] = {1 \over 4}\cos 4x\]
Chứng minh rằng
\[f'\left[ x \right] = g'\left[ x \right]\,\,\,\left[ {\forall x \in R} \right]\]
Lời giải chi tiết
Cách 1. Với mọi \[x \in R\], ta có
\[\eqalign{ f'\left[ x \right]& = 4{\sin ^3}x\cos x + 4{\cos ^3}x\left[ { - \sin x} \right] \cr&= 4\sin x\cos x[{\sin ^2}x - {\cos ^2}x] \cr& = 2\sin 2x\left[ { - \cos 2x} \right] = - \sin 4x. \cr} \]
Mặt khác ta có
\[g'\left[ x \right] = {1 \over 4}\left[ { - 4\sin 4x} \right] = - \sin 4x.\]
Vậy với mọi \[x \in R\], ta có
\[f'\left[ x \right] = g'\left[ x \right].\]
Cách 2. Ta chứng minh rằng \[f\left[ x \right]\] và \[g\left[ x \right]\] khác nhau một hằng số ; vì hai hàm số khác nhau một hằng số thì rõ ràng đạo hàm của chúng bằng nhau [nếu chúng có đạo hàm] . Thật vậy, ta có
\[\eqalign{{\sin ^4}x + {\cos ^4}x &= {\left[ {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right]^2} - 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x \cr& = 1 - {1 \over 2}{\sin ^2}2x\cr& = 1 - {1 \over 2}.{{1 - \cos 4x} \over 2} \cr&= {3 \over 4} + {1 \over 4}\cos 4x \cr} \]
Tức là \[f\left[ x \right] = {3 \over 4} = g\left[ x\right]\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left[ {\forall x \in R} \right].\]
Vậy \[f'\left[ x \right] = g'\left[ x \right].\]