Gọi AM là trung tuyến và G là trọng tâm của \[\Delta ABC\] . Chứng minh: \[{S_{BGM}} = \dfrac{1 }{ 6}{S_{ABC}}.\]
Đề bài
Gọi AM là trung tuyến và G là trọng tâm của \[\Delta ABC\] . Chứng minh: \[{S_{BGM}} = \dfrac{1 }{ 6}{S_{ABC}}.\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Diện tích tam giác bằng nửa tích chiều cao và cạnh đáy tương ứng.
Lời giải chi tiết
Vì AM là trung tuyến và G là trọng tâm của \[\Delta ABC\] ta có \[GM = \dfrac{1 }{3}AM.\]
Kẻ đường cao BH ta có: \[{S_{ABM}} = \dfrac{1 }{ 2}AM.BH.\]
\[{S_{BGM}} = \dfrac{1 }{ 2}GM.BH\]
Mà \[GM = \dfrac{1}{3}AM\] [tính chất trọng tâm]
\[ \Rightarrow {S_{BGM}} = \dfrac{1}{3}{S_{ABC}}\] mà \[{S_{ABM}} = \dfrac{1 }{2}{S_{ABC}}\]
Do đó: \[{S_{BGM}} = \dfrac{1 }{6}{S_{ABC}}.\]