- LG a
- LG b
- LG c
- LG d
- LG e
Chứng minh rằng:
LG a
Hợp thành của hai phép đối xứng trục có các trục đối xứng song song là một phép tịnh tiến.
Lời giải chi tiết:
Giả sử \[{Đ_a},\,{Đ_b}\] là các phép đối xứng trục có trục lần lượt là a, b mà a//b và F là hợp thành của \[{Đ_a}\] và \[{Đ_b}\].Lấy hai điểm A, B lần lượt nằm trên a, b sao cho \[AB \bot a.\]
Với điểm M bất kì, \[{Đ_a}\] biến M thành \[{M_1}\] và \[{Đ_b}\] biến \[{M_1}\] thành \[{M_2}\].
Nếu gọi H và K lần lượt là trung điểm của \[M{M_1}\] và \[{M_1}{M_2}\] thì:
\[\eqalign{
& \overrightarrow {M{M_2}} = \overrightarrow {M{M_1}} + \overrightarrow {{M_1}{M_2}} \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 2\left[ {\overrightarrow {H{M_1}} + \overrightarrow {{M_1}K} } \right] = 2\overrightarrow {HK}\cr& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 2\overrightarrow {AB} \cr} \]
Vì phép hợp thành F biến M thành \[{M_2}\] thành \[\overrightarrow {M{M_2}} = 2\overrightarrow {AB} \] nên F là phép tịnh tiến theo vecto \[2\overrightarrow {AB} \].
LG b
Mỗi phép tịnh tiến đều có thể xem là hợp thành của hai phép đối xứng trục có trục đối xứng song song bằng nhiều cách.
Lời giải chi tiết:
Giả sử T là phép tịnh tiến theo vecto \[\overrightarrow u \].
Lấy một đường thẳng a nào đó vuông góc với \[\overrightarrow u \] và đường thẳng b là ảnh của a qua phép tịnh tiến theo \[{1 \over 2}\overrightarrow u \] thì theo câu a] phép tịnh tiến T là hợp thành của phép đối xứng trục \[{Đ_a}\] và phép đối xứng trục \[{Đ_b}\].
Vì có nhiều cách chọn đường thẳng a, nên có nhiều phép đối xứng \[{Đ_a}\] và \[{Đ_b}\] có hợp thành là T.
LG c
Hợp thành của một số chẵn các phép đối xứng trục có trục đối xứng song song là một phép tịnh tiến.
Lời giải chi tiết:
Hợp thành của hai phép đối xứng có trục đối xứng song song là một phép tịnh tiến.
Vì vậy, hợp thành của 2n phép đối xứng trục [có trục đối xứng song song] là hợp thành của n phép tịnh tiến
Do đó cũng là phép tịnh tiến.
LG d
Hơp thành của một số lẻ các phép đối xứng có trục đối xứng song song là một phép đối xứng trục.
Lời giải chi tiết:
Giả sử F là hợp thành của 2n + 1 phép đối xứng trục.
Gọi phép đối xứng trục thứ nhất là \[{Đ_a}\] [có trục là đường thẳng a], 2n phép đối xứng trục còn lại có hợp thành là phép tịnh tiến T.
Ta có thể xem T là hợp thành của hai phép đối xứng mà phép thứ nhất là \[{Đ_a}\] và phép thứ hai là \[{Đ_b}\].
Vậy F là hợp thành của ba phép đối xứng: \[{Đ_a}\], \[{Đ_a}\] và \[{Đ_b}\].
Nhưng vì hợp thành của \[{Đ_a}\] và \[{Đ_a}\] là phép đồng nhất e nên F chính là phép đối xứng \[{Đ_b}\].
LG e
Cho phép đối xứng trục \[{Đ_a}\] qua đường thẳng a và phép tịnh tiến T theo vecto \[\overrightarrow v \] vuông góc với a. Chứng tỏ rằng hợp thành của \[{Đ_a}\] và T là phép đối xứng trục, hợp thành của T và \[{Đ_a}\] cũng là phép đối xứng trục.
Lời giải chi tiết:
Có thể xem phép tịnh tiến T là hợp thành của hai phép đối xứng trục \[{Đ_b}\] và \[{Đ_c}\].
Vì vecto tịnh tiến vuông góc với a nên a // b // c.
Do đó, ta được hợp thành của ba phép đối xứng có trục song song.
Vậy theo kết quả câu d] ta được một phép đối xứng trục.