- Bài 2.1
- Bài 2.2
- Bài 2.3
Bài 2.1
Cho đường thẳng \[d\] và điểm \[A\] không thuộc \[d.\] Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai?
[A] Có duy nhất một đường vuông góc kẻ từ điểm \[A\] đến đường thẳng \[d.\]
[B] Có duy nhất một đường xiên kẻ từ điểm \[A\] đến đường thẳng \[d.\]
[C] Có vô số đường vuông góc kẻ từ điểm \[A\] đến đường thẳng \[d.\]
[D] Có vô số đường xiên kẻ từ điểm \[A\] đến đường thẳng \[d.\]
Hãy vẽ hình minh họa cho các khẳng định đúng.
Phương pháp giải:
Sử dụng: Từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng có duy nhất một đường vuông góc và vô số đường xiên đến đường thẳng đó.
Lời giải chi tiết:
Ta có: Từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng có duy nhất một đường vuông góc và vô số đường xiên đến đường thẳng đó.
Suy ra các đáp án [A] và [D] đúng, [B] và [C] sai.
Hình minh họa:
[A]Có duy nhất một đường vuông góc kẻ từ điểm \[A\] đến đường thẳng \[d.\]
[D] Có vô số đường xiên kẻ từ điểm \[A\] đến đường thẳng \[d.\]
Trong hình trên thì các đường \[AF;AC;AD;AE\] đều là các đường xiên kẻ từ \[A\] đến đường thẳng \[d\] và có vô số đường xiên như thế.
Bài 2.2
Qua điểm\[A\]không thuộc đường thẳng\[d,\]kẻ đường vuông góc\[AH\]và các đường xiên\[AB, AC\]đến đường thẳng\[d\][\[H, B, C\]đều thuộc\[d].\]Biết rằng\[HB < HC.\]Hãy chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
[A]\[AB > AC\] [B]\[AB = AC\]
[C]\[AB < AC\] [D]\[AH > AB\]
Phương pháp giải:
Sử dụng: Trong hai đường xiên kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó: Đường xiên nào có hình chiếu nhỏ hơn thì nhỏ hơn
Lời giải chi tiết:
Ta có các đường xiên \[AB,AC\] lần lượt có hình chiếu trên đường thẳng \[d\] là \[HB,HC\]
Theo định lý so sánh giữa hình chiếu và hình xiên ta có: \[HB < HC \Rightarrow AB < AC.\]
Chọn [C]
Bài 2.3
a] Hai tam giác \[ABC, ABC\]vuông tại \[A\]và \[A\]có \[AB = AB, AC > AC.\]Không sử dụng định lý Pytago, chứng minh rằng \[BC > BC.\]
b] Hai tam giác \[ABC, ABC\]vuông tại \[A\]và \[A\]có \[AB = AB, BC > BC.\]Không sử dụng định lý Pytago, chứng minh rằng \[AC > AC.\]
Phương pháp giải:
Sử dụng: Trong hai đường xiên kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó;
a] Đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn
b] Đường xiên nào lớn hơn thì có hình chiếu lớn hơn
Và sử dụng tính chất hai tam giác bằng nhau.
Lời giải chi tiết:
a]
Do \[AC > AC\]nên lấy được điểm \[{C_1}\]trên cạnh \[AC\]sao cho \[{\rm{A}}{C_1} = A'C'\].
Xét hai tam giác vuông \[ABC_1\] và \[A'B'C'\] có \[AB=A'B';\,AC_1=A'C'\]
Suy ra tam giác vuông \[AB{C_1}\]bằng tam giác vuông \[ABC,\]do đó \[B'C' = B{C_1}\].
Mặt khác hai đường xiên \[BC\]và \[B{C_1}\]kẻ từ B đến đường thẳng \[AC\]lần lượt có hình chiếu trên \[AC\]là \[AC\]và \[{\rm{A}}{C_1}\]. Vì \[{\rm{A}}C > A{C_1}\]nên \[BC > B{C_1}\] [quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu] Suy ra \[BC > BC.\]
b]
Dùng phản chứng:
- Giả sử \[AC < AC.\]Khi đó theo chứng minh câu a] ta có \[BC < BC.\]Điều này không đúng với giả thiết \[BC > BC.\]
- Giả sử \[AC = AC.\]Khi đó ta có \[ABC = ABC [c.g.c].\]Suy ra \[BC = BC.\]
Điều này cũng không đúng với giả thiết \[BC > BC.\]
Vậy ta phải có \[AC > AC.\]
Chú ý:
Nếu sử dụng định lý Pytago thì có thể giải bài toán như sau:
Trong tam giác vuông \[ABC \] có \[BC^2= AB^2+ AC^2\][1]
Trong tam giác vuông \[A'B'C' \] có \[B'C'^2= A'B'^2+ A'C'^2\][2]
Theo giả thiết \[AB = A'B'\] nên từ [1] và [2] ta có:
- Nếu \[AC > A'C' \] thì \[AC^2> A'C'^2,\] suy ra \[BC^2> B'C'^2\]hay \[BC > B'C'\]
- Nếu \[BC > B'C'\] thì \[BC^2> B'C'^2,\] suy ra \[AC^2> A'C'^2\]hay \[AC > A'C'.\]