Đề bài
Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi E và F theo thứ tự là các điểm đối xứng của H qua AB và AC.
a] Chứng minh rằng A là trung điểm của đoạn EF.
b] Chứng minh rằng: BC = BE + CF.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+] Sử dụng định nghĩa: Hai điểm gọi là đối xứng với nhau qua đường thẳng d nếu d là đường trung trực của đoạn thẳng nối hai điểm đó.
+] Sử dụng tính chất đường trung trực: Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó.
+] Trong tam giác cân, đường trung tuyến ứng với cạnh đáy cũng là đường trung trực, đường phân giác.
Lời giải chi tiết
a] E đối xứng với H qua AB nên AB là đường trung trực của EH. Suy ra \[AE = AH.\]
F đối xứng với H qua AC nên AC là đường trung trực của FH. Suy ra \[AF = AH.\]
Do đó \[\Delta EAH\] cân có đường cao AB nên AB đồng thời là phân giác của \[\widehat {EAH}\] hay \[\widehat {{A_1}} = \widehat {{A_2}}.\]
\[\Delta FAH\] cân có đường cao AC nên AC đồng thời là phân giác của \[\widehat {FAH}\] hay \[\widehat {{A_3}} = \widehat {{A_4}}.\]
Mà \[\widehat {{A_2}} + \widehat {{A_3}} = {90^ \circ }[gt]\]
\[ \Rightarrow \widehat {{A_1}} + \widehat {{A_2}} + \widehat {{A_3}} + \widehat {{A_4}}\]\[ = 2\widehat {{A_2}} + 2\widehat {{A_3}} = 2.\left[ {\widehat {{A_2}} + \widehat {{A_3}}} \right] = {2.90^0}= {180^ \circ } \]
\[\Rightarrow E,A,F\] thẳng hàng.
Ta có AE = AH [cmt] và AH = AF [cmt] \[ \Rightarrow AF = AE.\]
Vậy A là trung điểm của đoạn EF.
b] Ta có BE = BH, CF = CH [do AB là đường trung trực của EH và AC là đường trung trực của FH]
Mà \[BC = BH + HC\] \[ \Rightarrow BC = BE + CF.\]