Đề bài
Hãy chứng minh Tính chất 3.
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
-Gọi \[F\left[ x \right]\] là một nguyên hàm của \[f\left[ x \right]\], \[G\left[ x \right]\] là một nguyên hàm của \[g\left[ x \right]\].
- Tìm nguyên hàm hai vế và kết luận.
Lời giải chi tiết
Gọi \[F\left[ x \right]\] là một nguyên hàm của \[f\left[ x \right]\];
\[G\left[ x \right]\] là một nguyên hàm của \[g\left[ x \right]\].
Ta có \[f\left[ x \right] = F'\left[ x \right],g\left[ x \right] = G'\left[ x \right]\].
Suy ra \[\int {\left[ {f\left[ x \right] \pm g\left[ x \right]} \right]dx} \] \[ = \int {\left[ {F'\left[ x \right] \pm G'\left[ x \right]} \right]dx} \] \[ = \int {\left[ {F\left[ x \right] \pm G\left[ x \right]} \right]'dx} \] \[ = F\left[ x \right] \pm G\left[ x \right] + C\]
Lại có \[\int {f\left[ x \right]dx} \pm \int {g\left[ x \right]dx} \] \[ = \int {F'\left[ x \right]dx} \pm \int {G'\left[ x \right]dx} \] \[ = F\left[ x \right] \pm G\left[ x \right] + C\].
Vậy \[\int {\left[ {f\left[ x \right] \pm g\left[ x \right]} \right]dx} = \int {f\left[ x \right]dx} \pm \int {g\left[ x \right]dx} \] [đpcm]