PHẦN I. TRẮC NGHIỆM: [2 điểm] Chọn chữ cái trước đáp án đúng
Câu 1 : Kết quả của phép tính \[{\left[ {\dfrac{1}{3}} \right]^9}:{\left[ {\dfrac{1}{9}} \right]^3}\]
A. \[{\left[ {\dfrac{1}{3}} \right]^3}\] B. \[{\left[ { - \dfrac{1}{3}} \right]^3}\] C. \[\dfrac{1}{3}\]D. \[ - \dfrac{1}{3}\]
Câu 2 : Nếu \[\sqrt {x + 3} = 4\] thì \[x\] bằng:
A. \[16\] B. \[ \pm 13\] C. \[13\] D. \[ \pm 169\]
Câu 3 : Từ tỉ lệ thức \[\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}\,\,\left[ {a,b,c,d \ne 0} \right]\] ta có thể suy ra
A. \[\dfrac{a}{c} = \dfrac{d}{b}\,\]
B. \[\dfrac{a}{d} = \dfrac{b}{c}\,\]
C. \[\dfrac{b}{a} = \dfrac{d}{c}\,\]
D. \[\dfrac{a}{b} = \dfrac{d}{c}\,\]
Câu 4 : Điểm thuộc đồ thị hàm số \[y = - 5x\] là:
A. \[\left[ {1\,;\,\,3} \right]\] B. \[\left[ {1\,;\,\, - 5} \right]\] C. \[\left[ {\dfrac{1}{5}\,;\,\,1} \right]\] D. \[\left[ {0\,;\,\,5} \right]\]
Câu 5 : Cho đường thẳng \[c\]cắt hai đường thẳng \[a\] và \[b\] và trong các góc tạo thành có một cặp góc so le trong bằng nhau thì:
A. \[a//b\] B. \[a\] cắt \[b\] C. \[a \bot b\] D. \[a\] trùng với \[b\]
Câu 6 : Cho \[\Delta ABC\] có \[\angle A = 40^\circ ;\,\,\angle C = 80^\circ \]. Góc ngoài của tam giác tại đỉnh \[B\] có số đo là:
A. \[140^\circ \] B. \[100^\circ \] C. \[60^\circ \] D. \[120^\circ \]
Câu 7 : Cho \[\Delta ABC\] và \[\Delta MNP\], biết \[\widehat B = \widehat N;\,\,\,\widehat A = \widehat P\]. Cần thêm điều kiện gì để \[\Delta ABC = \Delta MNP\]?
A. \[\angle C = \angle M\] B. \[AB = MP\] C. \[AC = MN\] D. \[BA = NP\]
Câu 8 : Đường trung trực của đoạn thẳng \[MN\] là đường thẳng
A. Vuông góc với \[MN\] B. Song song với \[MN\]
C. Vuông góc với \[MN\] tại trung điểm của \[MN\] D. Cắt \[MN\] tại trung điểm của \[MN\]
PHẦN II. TỰ LUẬN
Bài 1: [1,0 điểm] Thực hiện phép tính:
\[a]\,\,\dfrac{4}{{13}}.15\dfrac{3}{{41}} - \dfrac{4}{{13}}.2\dfrac{3}{{41}}\] \[b]\,\,\sqrt {25} .\left[ {0,4 - 1\dfrac{1}{2}} \right]:\left[ {{{\left[ { - 2} \right]}^3}.\dfrac{{11}}{8}} \right]\]
Bài 2: [1,0 điểm]
a] Tìm \[x\] biết: \[\dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{4}:x = 2\].
b] Tìm \[x,y\] biết: \[3x = 2y\] và \[x - 2y = 8\]
Bài 3: [2,0 điểm] Học sinh ba lớp 7 cần phải chăm sóc \[24\] cây xanh. Lớp 7A có \[32\] học sinh, lớp 7B có \[28\] học sinh, lớp 7C có \[36\] học sinh. Hỏi mỗi lớp phải chăm sóc bao nhiêu cây xanh biết số cây xanh tỉ lệ thuận với số học sinh.
Bài 4: [3,5 điểm] Cho tam giác \[ABC\] có ba góc đều nhọn, \[AB < AC\]. Lấy \[E\] là trung điểm của \[BC\]. Trên tia \[AE\] lấy điểm \[D\] sao cho \[E\] là trung điểm của \[AD\].
a] Chứng minh rằng: \[\Delta ABE = \Delta DCE\].
b] Chứng minh: \[AC//BD\].
c] Vẽ \[AH\] vuông góc với \[EC\] [\[H\] thuộc \[BC\]]. Trên tia \[AH\] lấy điểm \[K\] sao cho \[H\] là trung điểm của \[AK\]. Chứng minh rằng \[BD = AC = CK\].
d] Chứng minh \[DK\] vuông góc với \[AH\].
Bài 5: [0,5 điểm] Cho \[a + b + c = {a^2} + {b^2} + {c^2} = 1\] và \[\dfrac{x}{a} = \dfrac{y}{b} = \dfrac{z}{c}\] [với \[a \ne 0;\,\,b \ne 0;\,\,c \ne 0\]].
Chứng minh rằng : \[{\left[ {x + y + z} \right]^2} = {x^2} + {y^2} + {z^2}\].
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Thực hiện: Ban chuyên môn
PHẦN I: TRẮC NGHIỆM
|
1A |
2C |
3C |
4B |
5A |
6D |
7D |
8C |
Câu 1[TH]:
Phương pháp
Sử dụng công thức \[{a^m}:{a^n} = {a^{m - n}}\]
Cách giải:
\[{\left[ {\dfrac{1}{3}} \right]^9}:{\left[ {\dfrac{1}{9}} \right]^3}\]\[ = {\left[ {\dfrac{1}{3}} \right]^9}:{\left[ {\dfrac{1}{3}} \right]^6}\]
\[ = {\left[ {\dfrac{1}{3}} \right]^{9 - 6}} = {\left[ {\dfrac{1}{3}} \right]^3}\]
Chọn A.
Câu 2[VD]:
Phương pháp
Sử dụng công thức \[\sqrt A = B\left[ {B > 0} \right]\] thì \[A = {B^2}\]
Cách giải:
\[\sqrt {x + 3} = 4\]
\[\begin{array}{l}x + 3 = {4^2}\\x + 3 = 16\\x = 16 - 3\\x = 13\end{array}\]
Chọn C.
Câu 3[NB]:
Phương pháp
Sử dụng tính chất tỉ lệ thức \[\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}\].
Cách giải:
Từ tỉ lệ thức \[\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}\,\,\left[ {a,b,c,d \ne 0} \right]\] ta có thể suy ra \[\dfrac{b}{a} = \dfrac{d}{c}\].
Chọn C.
Câu 4[TH]:
Phương pháp
Thay lần lượt tọa độ các điểm vào hàm số.
Cách giải:
Đáp án A: Với \[x = 1\] thì \[y = - 5.1 = - 5 \ne 3\] nên điểm \[\left[ {1;3} \right]\] không thuộc đồ thị hàm số.
Đáp án B: Với \[x = 1\] thì \[y = - 5.1 = - 5\] nên điểm \[\left[ {1; - 5} \right]\] thuộc đồ thị hàm số.
Chọn B.
Câu 5[NB]:
Phương pháp
Sử dụng dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song.
Cách giải:
Nếu đường thẳng \[c\]cắt hai đường thẳng \[a\] và \[b\] và trong các góc tạo thành có một cặp góc so le trong bằng nhau thì \[a//b\].
Chọn A.
Câu 6[NB:
Phương pháp
Góc ngoài của tam giác bằng tổng hai góc trong không kề với nó.
Cách giải:
Số đo góc ngoài tại đỉnh \[B\] của tam giác \[ABC\] là \[{40^0} + {80^0} = {120^0}\].
Chọn D.
Câu 7[NB]:
Phương pháp
Sử dụng trường hợp bằng nhau g-c-g: Nếu một cạnh và hai góc kề của tam giác này bằng một cạnh và hai góc kề của tam giác kia thì hai tam giác bằng nhau.
Cách giải:
Nếu \[\widehat B = \widehat N;\,\,\,\widehat A = \widehat P\] thì để \[\Delta ABC\] và \[\Delta MNP\] bằng nhau ta cần \[AB = NP\]
Chọn D.
Câu 8[NB]:
Phương pháp
Đường trung trực của đoạn thẳng là đường thẳng vuông góc với đoạn thẳng tại trung điểm của nó.
Cách giải:
Đường trung trực của đoạn thẳng \[MN\] là đường thẳng vuông góc với \[MN\] tại trung điểm của \[MN\].
Chọn C.
PHẦN II: TỰ LUẬN
Bài 1[VD]:
Phương pháp
a] Sử dụng tính chất phân phối của phép nhân và cộng \[ab + ac = a\left[ {b + c} \right]\].
b] Đưa về phân số và tính toán.
Cách giải:
\[a]\,\,\dfrac{4}{{13}}.15\dfrac{3}{{41}} - \dfrac{4}{{13}}.2\dfrac{3}{{41}}\]
\[\begin{array}{l} = \dfrac{4}{{13}}\left[ {15\dfrac{3}{{41}} - 2\dfrac{3}{{41}}} \right]\\ = \dfrac{4}{{13}}.13\\ = 4\end{array}\]
\[b]\,\,\sqrt {25} .\left[ {0,4 - 1\dfrac{1}{2}} \right]:\left[ {{{\left[ { - 2} \right]}^3}.\dfrac{{11}}{8}} \right]\]
\[\begin{array}{l} = 5.\left[ {\dfrac{2}{5} - \dfrac{3}{2}} \right]:\left[ { - 8.\dfrac{{11}}{8}} \right]\\ = 5.\left[ {\dfrac{4}{{10}} - \dfrac{{15}}{{10}}} \right]:\left[ { - 11} \right]\\ = 5.\dfrac{{ - 11}}{{10}}.\dfrac{{ - 1}}{{11}}\\ = \dfrac{1}{2}\end{array}\]
Bài 2[VD]:
Phương pháp
a] Sử dụng quy tắc chuyển vế đổi dấu.
b] Sử dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau \[\dfrac{a}{x} = \dfrac{b}{y} = \dfrac{{ma \pm nb}}{{mx \pm ny}}\]
Cách giải:
a] Tìm \[x\] biết: \[\dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{4}:x = 2\].
\[\begin{array}{l}\dfrac{1}{4}:x = 2 - \dfrac{3}{4}\\\dfrac{1}{4}:x = \dfrac{5}{4}\\x = \dfrac{1}{4}:\dfrac{5}{4}\\x = \dfrac{1}{5}\end{array}\]
b] Tìm \[x,y\] biết: \[3x = 2y\]và \[x - 2y = 8\]
\[3x = 2y \Rightarrow \dfrac{x}{2} = \dfrac{y}{3}\]
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
\[\dfrac{x}{2} = \dfrac{y}{3} = \dfrac{{x - 2y}}{{2 - 2.3}} = \dfrac{8}{{ - 4}} = - 2\]
\[\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{x}{2} = - 2 \Rightarrow x = \left[ { - 2} \right].2 = - 4\\\dfrac{y}{3} = - 2 \Rightarrow y = \left[ { - 2} \right].3 = - 6\end{array}\]
Vậy \[x = - 4,y = - 6\].
Bài 3[VD]:
Phương pháp
Gọi số cây phải chăm sóc của 3 lớp lần lượt là \[x,y,z\]
Thiết lập mối quan hệ \[x,y,z\] và tìm \[x,y,z\].
Cách giải:
Gọi số cây phải chăm sóc của 3 lớp lần lượt là \[x,y,z\] [\[x,y,z \in \mathbb{N},x,y,z < 24\]]
Vì tổng số cây ba lớp là \[24\] cây nên \[x + y + z = 24\]
Số cây tỉ lệ với số học sinh nên \[\dfrac{x}{{32}} = \dfrac{y}{{28}} = \dfrac{z}{{36}}\]
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
\[\dfrac{x}{{32}} = \dfrac{y}{{28}} = \dfrac{z}{{36}}\]\[ = \dfrac{{x + y + z}}{{32 + 28 + 36}} = \dfrac{{24}}{{96}} = \dfrac{1}{4}\]
\[ \Rightarrow x = 32.\dfrac{1}{4} = 8\]
\[y = 28.\dfrac{1}{4} = 7\]
\[z = 36.\dfrac{1}{4} = 9\]
Vậy lớp \[7A\] trồng \[8\] cây, \[7B\] trồng \[7\] cây, \[7C\] trồng \[9\] cây.
Bài 4[VD]:
Phương pháp
a] Sử dụng trường hợp bằng nhau cạnh-góc-cạnh.
b] Chứng minh \[\Delta ACE = \Delta DBE\left[ {c - g - c} \right]\] suy ra hai góc tương ứng bằng nhau rồi suy ra song song.
c] Chứng minh \[\Delta CAH = \Delta CKH\left[ {c - g - c} \right]\] suy ra hai cạnh bằng nhau tương ứng.
d] Chứng minh \[EA = EK = ED\] suy ra các cặp góc bằng nhau.
Sử dụng tính chất tổng ba góc của một tam giác suy ra góc \[\angle AKD\] vuông.
Cách giải:
a] Chứng minh rằng: \[\Delta ABE = \Delta DCE\].
Xét \[\Delta ABE\] và \[\Delta DCE\] có:
\[EB = EC\] [\[E\] là trung điểm \[BC\]]
\[EA = ED\] [\[E\] là trung điểm \[AD\]]
\[\angle AEB = \angle DEC\] [đối đỉnh]
\[ \Rightarrow \Delta ABE = \Delta DCE\left[ {c - g - c} \right]\]
b] Chứng minh: \[AC//BD\].
Xét \[\Delta ACE\] và \[\Delta DBE\] có:
\[EB = EC\] [\[E\] là trung điểm \[BC\]]
\[EA = ED\] [\[E\] là trung điểm \[AD\]]
\[\angle AEC = \angle DEB\] [đối đỉnh]
\[ \Rightarrow \Delta ACE = \Delta DBE\left[ {c - g - c} \right]\]
\[ \Rightarrow \angle ACE = DBE\] [góc tương ứng]
Mà hai góc ở vị trí so le trong nên \[AC//BD\] [đpcm]
c] Vẽ \[AH\] vuông góc với \[EC\] [\[H\] thuộc \[BC\]]. Trên tia \[AH\] lấy điểm \[K\] sao cho \[H\] là trung điểm của \[AK\]. Chứng minh rằng \[BD = AC = CK\].
Ta có: \[\Delta ACE = \Delta DBE\left[ {cmt} \right]\]\[ \Rightarrow BD = AC\] [cạnh tương ứng] [1]
Xét \[\Delta CAH\] và \[\Delta CKH\] có:
\[CH\] chung
\[\angle CHA = \angle CHK = {90^0}\]
\[HA = HK\left[ {gt} \right]\]
\[ \Rightarrow \Delta CAH = \Delta CKH\left[ {c - g - c} \right]\]
\[ \Rightarrow CA = CK\] [2]
Từ [1] và [2] suy ra \[AC = BD = CK\] [đpcm]
d] Chứng minh \[DK\] vuông góc với \[AH\].
Nối \[E\] với \[K\].
Xét \[\Delta EAH\] và \[\Delta EKH\] có:
\[EH\] chung
\[\angle EHA = \angle EHK = {90^0}\]
\[HA = HK\left[ {gt} \right]\]
\[ \Rightarrow \Delta EAH = \Delta EKH\left[ {c - g - c} \right]\] \[ \Rightarrow \angle EAH = \angle EKH\] [góc t/ư] [3]
\[EK = EA\] [cạnh t/ư], mà \[EA = ED\left[ {gt} \right]\] \[ \Rightarrow EK = ED\] \[ \Rightarrow \Delta EKD\] cân tại \[E\]
\[ \Rightarrow \angle EKD = \angle EDK\] [t/c] [4]
Từ [3] và [4] suy ra \[\angle EAK + \angle EDK = \angle EKA + \angle EKD = \angle AKD\]
Tam giác \[AKD\] có: \[\angle EAK + \angle EDK + \angle AKD = {180^0}\]
\[\begin{array}{l} \Rightarrow \angle AKD + \angle AKD = {180^0}\\ \Rightarrow 2\angle AKD = {180^0}\\ \Rightarrow \angle AKD = {180^0}:2 = {90^0}\end{array}\]
Vậy \[AK \bot KD\] [đpcm].
Bài 5[VDC]:
Phương pháp
Sử dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau \[\dfrac{x}{a} = \dfrac{y}{b} = \dfrac{z}{c} = \dfrac{{x + y + z}}{{a + b + c}}\]
Cách giải:
Theo giả thiết ta có: \[\dfrac{x}{a} = \dfrac{y}{b} = \dfrac{z}{c}\].
Áp dụng dãy tỉ số bằng nhau ta có:
\[\dfrac{x}{a} = \dfrac{y}{b} = \dfrac{z}{c} = \dfrac{{x + y + z}}{{a + b + c}}\]\[ = \dfrac{{x + y + z}}{1} = x + y + z\]
Ta có :
\[{\left[ {x + y + z} \right]^2} = {\left[ {\dfrac{x}{a}} \right]^2} = {\left[ {\dfrac{y}{b}} \right]^2} = {\left[ {\dfrac{z}{c}} \right]^2}\] \[ = \dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} = \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = \dfrac{{{z^2}}}{{{c^2}}}\]
\[ = \dfrac{{{x^2} + {y^2} + {z^2}}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}} = \dfrac{{{x^2} + {y^2} + {z^2}}}{1}\] \[ = {x^2} + {y^2} + {z^2}\]
Vậy \[{\left[ {x + y + z} \right]^2} = {x^2} + {y^2} + {z^2}\] [đpcm].