- LG a
- LG b
Cho hai phép vị tự V1có tâm O1tỉ số k1và V2có tâm O2tỉ số k2. Gọi F là hợp thành của V1và V2. Chứng minh rằng:
LG a
F là một phép tịnh tiến nếu k1k2= 1. Hãy xác định vec tơ tịnh tiến.
Lời giải chi tiết:
Lấy một điểm M bất kỳ, nếu V1biến M thành M1và V2biến M1thành M2thì \[\overrightarrow {{O_1}{M_1}} = {k_1}\overrightarrow {{O_1}M} \] và \[\overrightarrow {{O_2}{M_2}} = {k_2}\overrightarrow {{O_2}{M_1}} \].
Khi đó, phép hợp thành F biến M thành M2. Gọi I là ảnh của O1qua phép vị tự V2, tức là \[\overrightarrow {{O_2}I} = {k_2}\overrightarrow {{O_2}{O_1}} \].
Khi đó \[\overrightarrow {I{M_2}} = {k_2}\overrightarrow {{O_1}{M_1}} = {k_1}{k_2}\overrightarrow {{O_1}M} \].
[h.33]
Nếuk1k2= 1 thì \[\overrightarrow {I{M_2}} = \overrightarrow {{O_1}M} \] nên \[\overrightarrow {M{M_2}} = \overrightarrow {{O_1}I} = \overrightarrow {{O_1}{O_2}} + \overrightarrow {{O_2}I} = \left[ {1 - {k_2}} \right]\overrightarrow {{O_1}{O_2}} \].
Vậy trong trường hợp này F là phép tịnh tiến vectơ \[\overrightarrow u = \left[ {1 - {k_2}} \right]\overrightarrow {{O_1}{O_2}} \].
LG b
F là một phép vị tự nếu k1k21. Hãy xác định tâm và tỉ số của phép vị tự đó.
Lời giải chi tiết:
Nếu k1k2\[\ne\] 1 ta chọn điểm O3sao cho \[\overrightarrow {{O_3}I} = {k_1}{k_2}\overrightarrow {{O_3}{O_1}} \]
Khi đó \[\overrightarrow {{O_3}{M_2}} = \overrightarrow {{O_3}I} + \overrightarrow {I{M_2}} \]
\[ = {k_1}{k_2}\overrightarrow {{O_3}{O_1}} + {k_1}{k_2}\overrightarrow {{O_1}M} \]
\[ = {k_1}{k_2}\overrightarrow {{O_3}M} \]
Vậy F là phép vị tự tâm O3tỉ số \[{k_1}{k_2}\].
Chú ý rằng tâm O3của phép vị tự đó được xác định bởi đẳng thức:
\[\overrightarrow {{O_3}I} = {k_1}{k_2}\overrightarrow {{O_3}{O_1}} \]
Hay \[\overrightarrow {{O_3}{O_1}} + \overrightarrow {{O_1}{O_2}} + \overrightarrow {{O_2}I} = {k_1}{k_2}\overrightarrow {{O_3}{O_1}} \].
Suy ra: \[\overrightarrow {{O_1}{O_2}} + {k_2}\overrightarrow {{O_2}{O_1}} = \left[ {1 - {k_1}{k_2}} \right]\overrightarrow {{O_1}{O_3}} \].
Do đó: \[\overrightarrow {{O_1}{O_3}} = {{1 - {k_2}} \over {1 - {k_1}{k_2}}}\overrightarrow {{O_1}{O_2}} \].
Cũng chú ý rằng tâm của ba phép vị tự V1, V2và F là ba điểm thẳng hàng O1, O2và O3.