Đề bài
Cho tam giác \[ABC\] vuông tại \[A.\] Đường tròn \[[O]\] nội tiếp tam giác \[ABC\] tiếp xúc với \[AB, AC\] lần lượt tại \[D, E.\]
\[a]\] Tứ giác \[ADOE\] là hình gì\[?\] Vì sao\[?\]
\[b]\] Tính bán kính của đường tròn \[[O]\] biết \[AB = 3cm, AC = 4cm\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức:
+] Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.
+] Tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật.
+] Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là hình vuông.
+] Định lí Py-ta-go: trong tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông.
+] Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì điểm đó cách đều hai tiếp điểm.
Lời giải chi tiết
Vì đường tròn \[[O]\] nội tiếp tam giác \[ABC\] nên AB, BC, AC là các tiếp tuyến của đường tròn.
Gọi F là tiếp điểm của đường tròn [O] với tiếp tuyến BC.
\[a]\] Ta có: \[OD \bot AB \Rightarrow \widehat {ODA} = 90^\circ \]
\[OE \bot AC \Rightarrow \widehat {OEA} = 90^\circ \]
\[\widehat {BAC} = 90^\circ \] [gt]
Tứ giác \[ADOE\] có ba góc vuông nên nó là hình chữ nhật
Lại có: \[AD = AE\] [tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau]
Vậy tứ giác \[ADOE\] là hình vuông.
\[b]\] Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông \[ABC\] ta có:
\[B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {3^2} + {4^2} = 25\]
Suy ra:\[ BC = 5 [cm]\]
Theo tính chất tiếp tuyến cắt nhau ta có:
\[AD = AE\]
\[ BD = BF\]
\[ CE = CF\]
Mà: \[ AD = AB BD\]
\[ AE = AC CE\]
Suy ra: \[AD + AE = AB BD + [AC CE ]\]
\[ = AB + AC [BD + CE ]\]
\[ = AB + AC [BF + CF ]\]
\[ = AB + AC BC\]
Suy ra: \[ AD = AE =\displaystyle {{AB + AC - BC} \over 2}\]\[ = \displaystyle{{3 + 4 - 5} \over 2} = 1 [cm]\]
Vì tứ giác\[ADOE\] là hình vuông nên \[OD=DA=1cm\]
Vậybán kính của đường tròn \[[O]\] là \[1cm.\]