Đề bài
Tam giác \[ABC\] vuông cân tại \[A\] và nội tiếp trong đường tròn tâm \[O\] bán kính \[R\]. Gọi \[r\] là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác \[ABC\]. Khi đó tỉ số \[{R \over r}\]là:
A. \[1 + \sqrt 2\]
B. \[{{2 + \sqrt 2 } \over 2}\]
C. \[{{\sqrt 2 - 1} \over 2}\]
D. \[{{1 + \sqrt 2 } \over 2}\]
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Tính bán kính R.
- Tính diện tích tam giác và nửa chu vi suy ra r.
- Tính tỉ số.
Lời giải chi tiết
Đặt AB=AC=a.
+] Tam giác ABC vuông tại A nên theo Pitago ta có: \[BC =AB^2+AC^2\] \[= \sqrt {{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 2 \]
\[\Rightarrow R =\frac{1}{2}BC= \frac{{a\sqrt 2 }}{2}.\]
+] Nửa chu vi tam giác \[ABC\] là:\[p = \frac{{a + a + a\sqrt 2 }}{2}\] \[= \frac{{2a + a\sqrt 2 }}{2}\]
Ta có: \[{S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC = \frac{1}{2}.a.a = \frac{{{a^2}}}{2}\]
Mà \[{S_{ABC}} = pr\]
\[\Rightarrow r = \frac{{{S_{ABC}}}}{p} = \frac{{\frac{{{a^2}}}{2}}}{{\frac{{2a + a\sqrt 2 }}{2}}} \] \[= \frac{{{a^2}}}{2}:\frac{{2a + a\sqrt 2 }}{2} = \frac{{{a^2}}}{2}.\frac{2}{{2a + a\sqrt 2 }} = \frac{a}{{2 + \sqrt 2 }}\]
\[\Rightarrow \frac{R}{r}\] \[= \frac{{\frac{{a\sqrt 2 }}{2}}}{{\frac{a}{{2 + \sqrt 2 }}}}\]
\[= \frac{{a\sqrt 2 }}{2}:\frac{a}{{2 + \sqrt 2 }} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}.\frac{{2 + \sqrt 2 }}{a}\] \[ = \frac{{\sqrt 2 \left[ {2 + \sqrt 2 } \right]}}{2} = \sqrt 2 + 1\]
Vậy chọn A.