Đề bài
Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo vuông góc với nhau. Gọi E, F, G, H theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Tứ giác EFGH là hình gì ? Vì sao ?
Lời giải chi tiết
E, F lần lượt là trung điểm của AB và BC.
\[ \Rightarrow EF\] là đường trung bình của tam giác ABC \[ \Rightarrow EF//AC\] và \[EF = {1 \over 2}AC\,\,\,\left[ 1 \right]\]
H, G lần lượt là trung điểm của AD và CD
\[ \Rightarrow HG\] là đường trung bình của tam giác ACD \[ \Rightarrow HG//AC\] và \[HG = {1 \over 2}AC\,\,\,\left[ 2 \right]\]
Từ [1] và [2] suy ra EF // HG và \[EF = HG\]
Vậy tứ giác HEFG là hình bình hành.
G, F lần lượt là trung điểm của DC và BC
\[ \Rightarrow GF\] là đường trung bình của tam giác BDC.
\[ \Rightarrow GF//BD\]
Mà \[BD \bot AC\,\,\left[ {gt} \right]\] nên \[GF \bot AC\]
Ta có \[GF \bot AC,\,\,EF//AC \Rightarrow GF \bot EF \Rightarrow \widehat {EFG} = {90^0}\]
Hình bình hành HEFG có \[\widehat {EFG} = {90^0}\] nên là hình chữ nhật.