Đề bài
Cho tam giác ABC đường trung tuyến BD. Trên tia đối của tia DB lấy điểm E sao cho \[DE = B{\rm{D}}.\] Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của BC và EC. Gọi P, Q lần lượt là giao điểm của AM, AN với BE. Chứng minh rằng: \[BP = PQ = QE.\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Tính chất đường trung tuyến trong tam giác
Lời giải chi tiết
M là trung điểm của BC [gt] nên AM là đường trung tuyến của \[\Delta ABC\].
Lại có BD là trung tuyến của \[\Delta ABC\], mà AM cắt BE tại P nên P là trọng tâm của \[\Delta ABC\], ta có: \[BP = \dfrac{2 }{ 3}B{\rm{D}}.\]
Chứng minh tương tự ta có Q là trọng tâm của \[\Delta AC{\rm{E}} \Rightarrow QE = \dfrac{2 }{ 3}DE\]
mà \[DE = B{\rm{D}}\] [gt] \[ \Rightarrow BP = QE.\]
Mặt khác vì \[PB = 2P{\rm{D}}\] [tính chất trọng tâm] và \[QE = 2Q{\rm{D}}\], do đó \[BP = PQ = QE.\]