Đề bài
Cho tứ diện ABCD, M và N là các điểm lần lượt thuộc AB và CD sao cho \[\overrightarrow {MA} = - 2\overrightarrow {MB} ,\,\overrightarrow {N{\rm{D}}} = - 2\overrightarrow {NC} \]. Các điểm I, J, K lần lượt thuộc AD, MN, BC sao cho \[\overrightarrow {IA} = k\overrightarrow {I{\rm{D}}} ,\,\overrightarrow {JM} = k\overrightarrow {JN} ,\,\overrightarrow {KB} = k\overrightarrow {KC} \]. Chứng minh rằng các điểm I, J, K thẳng hàng.
Lời giải chi tiết
Cách 1.
Ta có:
\[\eqalign{ & \overrightarrow {IJ} = \overrightarrow {IA} + \overrightarrow {AM} + \overrightarrow {MJ} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\left[ 1 \right] \cr & \overrightarrow {IJ} = \overrightarrow {ID} + \overrightarrow {DN} + \overrightarrow {NJ} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left[ 2 \right] \cr} \]
Từ [2] ta có:
\[\eqalign{ & k\overrightarrow {IJ} = k\overrightarrow {ID} + k\overrightarrow {DN} + k\overrightarrow {NJ} \cr & hay\,\,\,k\overrightarrow {IJ}= \overrightarrow{IA} + k\overrightarrow {DN} + \overrightarrow {MJ} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left[ 3 \right] \cr} \]
Từ [1], [3] ta có:
\[\eqalign{ & \left[ {1 - k} \right]\overrightarrow {IJ} = \overrightarrow {AM} - k\overrightarrow {DN} \cr & hay\,\,\overrightarrow {IJ} = {1 \over {1 - k}}\overrightarrow {AM} - {k \over {1 - k}}\overrightarrow {DN} \cr} \]
Chứng minh tương tự như trên, ta có:
\[\overrightarrow {JK} = {1 \over {1 - k}}\overrightarrow {MB} - {k \over {1 - k}}\overrightarrow {NC} \]
Mặt khác \[\overrightarrow {MA} = - 2\overrightarrow {MB} ,\,\,\,\overrightarrow {N{\rm{D}}} = - 2\overrightarrow {NC} \]
nên \[\overrightarrow {IJ} = {2 \over {1 - k}}\overrightarrow {MB} - {{2k} \over {1 - k}}\overrightarrow {NC} \].
Từ đó, ta có \[\overrightarrow {IJ} = 2\overrightarrow {IK} \]
Vậy ba điểm I, J, K thẳng hàng.
Cách 2.
Vì \[\overrightarrow {MA} = - 2\overrightarrow {MB} \]
nên với điểm O bất kì thì \[\overrightarrow {OM} = {{\overrightarrow {OA} + 2\overrightarrow {OB} } \over 3}\].
Tương tự
\[\eqalign{ & \overrightarrow {ON} = {{\overrightarrow {O{\rm{D}}} + 2\overrightarrow {OC} } \over 3};\,\,\,\overrightarrow {OI} = {{\overrightarrow {OA} - k\overrightarrow {O{\rm{D}}} } \over {1 - k}}; \cr & \overrightarrow {OK} = {{\overrightarrow {OB} - k\overrightarrow {OC} } \over {1 - k}};\,\,\overrightarrow {OJ} = {{\overrightarrow {OM} - k\overrightarrow {ON} } \over {1 - k}}. \cr} \]
Từ đó, ta có:
\[\eqalign{ & \overrightarrow {OJ} = {1 \over {1 - k}}.{1 \over 3}\left[ {\overrightarrow {OA} + 2\overrightarrow {OB} - k\overrightarrow {OD} - 2k\overrightarrow {OC} } \right] \cr & = {1 \over {1 - k}}.{1 \over 3}\left[ {\left[ {1 - k} \right]\overrightarrow {OI} + 2\left[ {1 - k} \right]\overrightarrow {OK} } \right] \cr & = {1 \over 3}[\overrightarrow {OI} + 2\overrightarrow {OK} ] = {1 \over 3}\overrightarrow {OI} + {2 \over 3}\overrightarrow {OK} . \cr} \]
Mặt khác \[{1 \over 3} + {2 \over 3} = 1\].
Vậy 3 điểm I, J, K thẳng hàng.