Đề bài
Cho hình lập phương ABCD.ABCD cạnh a.
a] Tính góc tạo bởi hai đường thẳng AC và AB.
b] Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, DD. Chứng minh rằng AC vuông góc với mp[MNP].
Lời giải chi tiết
a] Ta có \[C'B' \bot \left[ {ABB'A'} \right],B'A \bot A'B\] nên \[A'B \bot AC'\] [định lí ba đường vuông góc].
Vậy góc giữa AC và AB bằng 90°.
b] Ta có
\[\eqalign{ & N{P^2} = N{C^2} + C{{\rm{D}}^2} + D{P^2} \cr & = {{{a^2}} \over 4} + {a^2} + {{{a^2}} \over 4} = {{3{{\rm{a}}^2}} \over 2} \cr} \]
Tương tự ta cũng có \[M{N^2} = M{P^2} = {{3{{\rm{a}}^2}} \over 2}\]
Vậy MNP là tam giác đều.
Mặt khác:
\[\eqalign{ & A{N^2} = A{P^2} = A{M^2} = {{5{{\rm{a}}^2}} \over 4} \cr & C'{N^2} + C'{P^2} = C'{M^2} = {{5{{\rm{a}}^2}} \over 4} \cr} \]
Từ đó \[AC' \bot \left[ {MNP} \right]\].