- LG a
- LG b
Cho tứ diện ABCD. Chứng minh rằng:
LG a
Nếu ABCD là hình chữ nhật thì với mọi điểm M trog không gian ta luôn có \[M{A^2} + M{C^2} = M{B^2} + M{{\rm{D}}^2}\] .
Lời giải chi tiết:
Cách 1. Gọi O là giao điểm của AC và BD
\[\eqalign{ & M{A^2} + M{C^2} = 2M{O^2} + {{A{C^2}} \over 2} \cr & M{B^2} + M{{\rm{D}}^2} = 2M{O^2} + {{B{{\rm{D}}^2}} \over 2} \cr} \]
Vì ABCD là hình chữ nhật nên AC = BD. Vậy \[M{A^2} + M{C^2} = M{B^2} + M{{\rm{D}}^2}\].
Cách 2.
\[\eqalign{& M{A^2} + M{C^2} = {\left[ {\overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OA} } \right]^2} + {\left[ {\overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OC} } \right]^2} \cr & = 2\overrightarrow {M{O^2}} + 2\overrightarrow {MO} .\left[ {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OC} } \right] + {\overrightarrow {OA} ^2} + {\overrightarrow {OC} ^2} \cr & = 2\left[ {M{O^2} + O{A^2}} \right] \cr & \left[ {do\,OA = OC,\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow 0 } \right] \cr} \]
Tương tự như tên ta có \[M{B^2} + M{{\rm{D}}^2} = 2\left[ {M{O^2} + O{B^2}} \right]\].
Vì ABCD là hình chữ nhật nên OA = OB. Vậy \[M{A^2} + M{C^2} = M{B^2} + M{{\rm{D}}^2}\].
LG b
Nếu ABCD là hình bình hành thì \[M{A^2} + M{C^2} - M{B^2} - M{{\rm{D}}^2}\] không phụ thuộc vào vị trí điểm M trong không gian. Điều ngược lại có đúng không?
Lời giải chi tiết:
Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AC cà BD, khi đó:
\[\eqalign{ & M{A^2} + M{C^2} - M{B^2} - M{{\rm{D}}^2} \cr & = {\left[ {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} } \right]^2} + {\left[ {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IC} } \right]^2} - {\left[ {\overrightarrow {MJ} + \overrightarrow {JB} } \right]^2} - {\left[ {\overrightarrow {MJ} + \overrightarrow {J{\rm{D}}} } \right]^2} \cr & = 2M{I^2} + I{A^2} + I{C^2} - 2M{J^2} - I{B^2} - J{{\rm{D}}^2} \cr & = 2\left[ {M{I^2} - M{J^2}} \right] + {1 \over 2}\left[ {A{C^2} - B{{\rm{D}}^2}} \right] \cr} \]
Nếu ABCD là hình bình hành thì I J
Khi đó
\[\eqalign{ & M{A^2} + M{C^2} - M{B^2} - M{{\rm{D}}^2} \cr & = {1 \over 2}\left[ {A{C^2} - B{{\rm{D}}^2}} \right] \cr} \]
tức là \[M{A^2} + M{C^2} - M{B^2} - M{{\rm{D}}^2}\] không phụ thuộc vào vị trí của điểm M.
Ngược lạ, nếu \[M{A^2} + M{C^2} - M{B^2} - M{{\rm{D}}^2}\] không phụ thuộc vào bị trí của điểm M thì \[M{I^2} - M{J^2}\] cũng là hằng số. Khi đó chọn M lần lượt là điểm I và điểm J thì \[I{I^2} - I{J^2} = J{I^2} - J{J^2}\] , suy ra \[ - I{J^2} = I{J^2}\], tức là IJ = 0 hay I J
Vậy ABCD là hình bình hành.
Chú ý cũng có thể sử dụng các công thức:
\[\eqalign{ & M{A^2} + M{C^2} = 2M{I^2} + {{A{C^2}} \over 2} \cr & M{B^2} + M{D^2} = 2M{J^2} + {{B{D^2}} \over 2} \cr} \]
và từ đó ta có
\[\eqalign{ & M{A^2} + M{C^2} - M{B^2} - M{{\rm{D}}^2} \cr & = 2\left[ {M{I^2} - M{J^2}} \right] + {1 \over 2}\left[ {A{C^2} - B{{\rm{D}}^2}} \right] \cr} \]
rồi lí luận như trên để đi đến kết quả.