Đề bài
Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.ABCD cạnh đáy bằng a, cạnh bên \[a\sqrt 6 \]. Xét đường thẳng đi qua điểm A và song song với BD. Gọi [P] là mặt phẳng qua và điểm C.
a] Thiết diện của hình lăng trụ đã cho khi cắt bởi mp[P] là hình gì? Tính diện tích thiết diện.
b] Tính góc giữa mp[P] và mp[ABCD].
Lời giải chi tiết
a] Gọi \[I = C{\rm{D}} \cap \Delta ,J = BC \cap \Delta \],
\[{B_1} = C'J \cap BB',{D_1} = C'I \cap {\rm{DD}}'\]
thì thiết diện thu được \[A{B_1}C'{D_1}\].
Dễ thấy \[A{B_1}C'{D_1}\] là hình bình hành và B1, D1lần lượt là trung điểm của BB, DD.
Từ đó \[A{{\rm{D}}_1} = {D_1}C'\]
Do đó thiết diện \[A{B_1}C'{D_1}\] là hình thoi.
\[\eqalign{ & {S_{A{B_1}C'{D_1}}} = {1 \over 2}{B_1}{D_1},AC' \cr & {B_1}{D_1} = B{\rm{D}} = a\sqrt 2 \cr & AC{'^2} = A{C^2} + CC{'^2} = 2{{\rm{a}}^2} + 6{{\rm{a}}^2} = 8{{\rm{a}}^2} \cr & \Rightarrow AC' = 2{\rm{a}}\sqrt 2 \cr} \]
Vậy \[{S_{A{B_1}C'{D_1}}} = {1 \over 2}a\sqrt 2 .2{\rm{a}}\sqrt 2 = 2{{\rm{a}}^2}.\]
b] Ta có \[AC \bot B{\rm{D}}\] mà // BD nên \[AC \bot \Delta \].
Mặt khác \[C'C \bot \left[ {ABC{\rm{D}}} \right]\] nên \[AC' \bot \Delta \] [định lí ba đường vuông góc].
Vậy \[\widehat {C'AC}\] là góc giữa mp[P] và mp[ABCD].
Ta có \[\tan \widehat {C'AC} = {{CC'} \over {AC}} = {{a\sqrt 6 } \over {a\sqrt 2 }} = \sqrt 3 \], từ đó \[\widehat {C'AC} = {60^0}\]
Chú ý. Cũng có thể tính góc giữa mp[P] và mp[ABCD] bởi công thức
\[{S_{ABC{\rm{D}}}} = {S_{A{B_1}C'{D_1}}} = 2{{\rm{a}}^2}\]
mà \[{S_{ABC{\rm{D}}}} = {a^2},{S_{A{B_1}C'{D_1}}} = 2{{\rm{a}}^2}\]
tức là \[\cos \varphi = {1 \over 2}\,\,hay\,\,\varphi = {60^0}\].